2024.07 做题笔记

7.6

简单写点省队集训考试题和讲课的题。

T2 UOJ427 化学竞赛

给定一个大小为 \(n\) 的阿贝尔群，再给定一个序列 \(a_m\)，其中每个元素都在群中，\(q\) 次询问一个区间内的数的生成群大小。\(n \leq 3\times 10^3,m,q \leq 1 \times 10^6\)

一个结论是 Abel 群可以被直积分解成若干个循环群，即如果 \(n=p_1^{q_1}p_2^{q_2}\cdots p_c^{q_c}\)，那么 \(S=\mathbb{Z}_{p_1^{q_1}}\times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_c^{q_c}}\)，这个证明以后补一下，读抽代的时候没仔细看。

然后就是 OI 内容了，考察所有 \(q\) 为 1 怎么做，不难发现这时候一个向量（我们把数分解掉）的生成群阶数其实就是它所有有数的位上的 \(p\) 的积，这个还是比较显然的，因为所有 \(\gcd\) 都是 1，所以我们就不用管太多东西，只要考虑哪些位上有数。

接着问题转化为求区间并的位数，但是 \(p\) 只有 \(\log\) 种，扫描线 \(l\)，维护一些 \(r\) 使得这些 \(r\) 相较于前面答案发生了变化，这个只有 \(\log\) 种，而且每次操作 \(r\) 集合的变化是 \(O(1)\) 的，二分修改一下就是第一个 \(\log\) 。

\(q\) 不是 1 呢？这时候每位上就不一定是 1 或者 0，但是我们发现把它扩充到 \(q\) 就还能沿用上述做法，且较小数一定比大数优，把并换成线性基就可以做到两个 \(\log\)。

T3 UOJ705 黄忠庆功宴

给定一个大小为 \(p\) 的环，\(q\) 次询问每次从环上 \(x\) 点跳 \(l\) 步每步跳 \(k\) 个间隔，路上所有点 \(a\) 加起来是多少。\(p\) 是质数，\(p,q \leq 3 \times 10^5\)。

暴力做法：断环成链，然后暴力跳。这个做法能扩展到 \(k\) 比较小的情况，但是比较大比较无能为力，这启发我们根号分治，但是我们其实并没有什么比较好的做法。

还有一个思路：发现走到边界返回开头这个过程是比较关键也是我们不好处理的，我们能不能尽量把这部分简单化？

两部分殊途同归，有两个做法：

第一个是考虑我们在走 \(k^{-1}\) 后等价往前走了一格，然后剩下的部分相当于是前面部分到的点全部 \(+1\) ，我们就把原序列划分成了 \(k^{-1}\) 个公差是 1 的等差数列，如果 \(k^{-1}\) 很小，我们直接暴力找到这个等差数列，然后算一算就做完了。

但是这两部分还是没办法平衡，\(k\) 和 \(k^{-1}\) 没有必然联系，这时候有个惊人的观察，就是每个 \(k\) 必然存在一个分解使得 \(k=\frac{a}{b}\) 使得两个数都是根号级别的，证明可以考虑所有 \({a-bk}\) 中必然有重复（鸽笼），然后大的减一下就有了，有了这个结论之后我们就预处理所有 \(a\) 的对应等差数列，问题转化成每次在对应 \(a\) 处理出来的序列上走 \(b^{-1}\) 个格子，然后就运用上面做法解决。

其实这个做法的本质还应该是考虑 \(k\) 怎么缩小或者分解成若干个子部分，这样能比较好做，然后你按照每次一步走小于根号所有预处理出来，一次走 \(k\) 也存在一个分解在预处理的上面走的步数不多，然后能按照上述方法处理。

但是这个还是很严格，还是太抽象了，于是有方法二：考虑每次我们不走到初始点加一，而是放宽限制，到加小于根号，这个可以发现如果你一次迈过的间隔大于根号，那必然在根号步内能到，证明是类似的，考虑集合 \(ay\)，\(y\) 是你一次迈的间隔，只要有两个的差小于根号那就有解，否则是一个平铺之类的东西，也就不合法。

然后这个就跟上面差不多了，分成根号个公差根号的等差数列，预处理即可，这个的本质也差不多是把等差数列作小的划分，殊途同归。