Equalize
题面翻译
有一个给定的长度为 \(n\) 的数列 \(a\)，现在加上一个排列 \(b\)，即 \(c_i=a_i+b_i\)。
现在求对于所有可能的 \(b\)，\(c\) 中出现最多的数的出现次数的最大值。
translate by @UniGravity.
题目描述
Vasya has two hobbies — adding permutations $ ^{\dagger} $ to arrays and finding the most frequently occurring element. Recently, he found an array $ a $ and decided to find out the maximum number of elements equal to the same number in the array $ a $ that he can obtain after adding some permutation to the array $ a $ .
More formally, Vasya must choose exactly one permutation $ p_1, p_2, p_3, \ldots, p_n $ of length $ n $ , and then change the elements of the array $ a $ according to the rule $ a_i := a_i + p_i $ . After that, Vasya counts how many times each number occurs in the array $ a $ and takes the maximum of these values. You need to determine the maximum value he can obtain.
$ ^{\dagger} $ A permutation of length $ n $ is an array consisting of $ n $ distinct integers from $ 1 $ to $ n $ in arbitrary order. For example, $ [2,3,1,5,4] $ is a permutation, but $ [1,2,2] $ is not a permutation ( $ 2 $ appears twice in the array), and $ [1,3,4] $ is also not a permutation ( $ n=3 $ but there is $ 4 $ in the array).
输入格式
Each test consists of multiple test cases. The first line contains a single integer $ t $ ( $ 1 \leq t \leq 2 \cdot 10^4 $ ) — the number of test cases. Then follows the description of the test cases.
The first line of each test case contains a single integer $ n $ ( $ 1 \le n \le 2 \cdot 10^5 $ ) — the length of the array $ a $ .
The second line of each test case contains $ n $ integers $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ ( $ 1 \le a_i \le 10^9 $ ) — the elements of the array $ a $ .
It is guaranteed that the sum of $ n $ over all test cases does not exceed $ 2 \cdot 10^5 $ .
输出格式
For each test case, output a single number — the maximum number of elements equal to the same number after the operation of adding a permutation.
样例 #1
样例输入 #1
7
2
1 2
4
7 1 4 1
3
103 102 104
5
1 101 1 100 1
5
1 10 100 1000 1
2
3 1
3
1000000000 999999997 999999999
样例输出 #1
2
2
3
2
1
1
2
提示
In the first test case, it is optimal to choose $ p = [2, 1] $ . Then after applying the operation, the array $ a $ will be $ [3, 3] $ , in which the number $ 3 $ occurs twice, so the answer is $ 2 $ .
In the second test case, one of the optimal options is $ p = [2, 3, 1, 4] $ . After applying the operation, the array $ a $ will be $ [9, 4, 5, 5] $ . Since the number $ 5 $ occurs twice, the answer is $ 2 $ .
解题思路
题意可理解为求出通过将任意不重复的小于等于\(n\)的数对原序列中的数据进行替换后数组中可以通过上述操作所获得的相同的元素的最大数量。
可以先进行试想，对于一个等差数列我们可以通过加上一个完全相反的数列，使得所有数都变为相同的数，满足了题目的要求。
因为序列不对替换顺序进行要求，我们可以打乱原数组的顺序，构造一个含有间断点的类似于等差数列的序列。也就是说，我们可以对原序列进行排序，然后取出中间任意一部分理想的子序列构造出一个含有部分相同项和缺少部分项的等差数列。不难发现，因为题目中进行相加的序列不可以出现重复的数值，所以如果原序列中出现了相同的数，不可能存在相加不同的数的操作使得原序列中的两个相同的数仍然相同的情况。所以原序列相同的数据仅仅可能只有其中的一个是有效的。我们就可以把我们构造出的序列中的相同项全部删除，得到一个缺失部分项的等差数列。
题目中没有说明所有\(\leq n\)的数都必须使用，也就是说，我们可以再次构建一个缺少项的等差数列，让缺少项的等差序列和上文中构建的序列相加，这个使得这个序列和刚才我们构建的序列满足我们试想中的情况。
所以，我们就可以先判断试想中的合法条件，然后推广到这个题目。
在试想的情况中，我们应用类似于题目中的条件，即相反的序列必须满足\(\leq n\)。由于没有重复项，并且序列是满足递增的（单调），如果最大项和最小项（也就是要进行判断合法的序列中差值最大、最难相等的两个数）在这个条件下可以成立，那么其它差值较小的元素也一定可以成立。
我们希望最大项和最小项相等，那么就要让最小项的加值尽可能大，让最大项的加值尽可能小。那么在保证合法的前提下使用构造的相反数列中的最小项1和最大项\(n\)。我们让最小值+n，最大值+1。如果存在$ max + 1 \leq min + n $的情况成立，那么其它项之间较小的插值也一定能通过这个相反序列满足。题目中我们所能够构造的数列仅仅是试想中两个互相相反的序列各去除了一些项所得到的，所以我们可以将这个条件直接应用到解题中。
我们可以使用双指针去枚举所有合法的情况然后取出最大值作为答案。也可以使用$ max + 1 \leq min + n $这个条件，枚举左端点，然后使用二分查找寻找所有合法的右端点，然后取出最大值（直接暴力时间复杂度过高会超时）。
（仅列举第一种方法）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t,n;
vector<long long>a(n);
int main(){scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%d",&n);vector<long long>a(n);for(int i=0;i<n-1;i++){scanf("%d ",&a[i]);}scanf("%d",&a[n-1]);sort(a.begin(),a.end());a.erase(unique(a.begin(), a.end()), a.end());int m = a.size(), res = 0;for (int l=0,r=0;r<m;r++){while(l<=r&&a[r]+1-a[l]>n)l++;if(l<=r&&a[r]+1-a[l]<=n)res=max(res,r-l+1);}printf("%d\n",res);}return 0;
}
