前言
暑期第三次组队赛是选的21年杭电多校10,遗憾爆0,被对面队打爆,赛后狠狠补题。这道题的题解,以及网上搜到的其他题解看了好久没看懂,在问了队里大腿多次后,总算磨出来了,这里讲一下我的理解。
题意
多次询问,每次给定 \(n\) 和 \(k\), 如果一个数的质因数里包括前 \(k\) 个质数,则这个数是 讨厌 的,问 \(1\) 到 \(n\) 中有多少个数是不讨厌的。
数据范围 \(1 \leq n \leq 10^{18}, 1 \leq k \leq 16\)
思路
首先直接 \(2^k\) 的枚举质因数,然后容斥,这个是简单的。具体来说就是直接dfs 爆搜,枚举每个质因数选或者不选,选的话就乘上这个数,最终得到一个 \(x\) 以及 容斥系数 \(f\) ,容斥系数根据选的质因数的奇偶性,决定是 \(1\) 或者 \(-1\)。然后将答案加上 \(1 - n\) 中是 \(x\) 的倍数的个数乘 \(f\)。
通过这个容斥, 我们能得到的是 1 - n 中不是前k个质数倍数的个数,这句话,以及题解里面也是类似的描述,有一点歧义的地方。不是前k个质数的倍数,意思是质因数不包含前 k 个质数。而不是,不是前k个质数的乘积的倍数(因为题解里面多次强调了前8个质数的乘积9699690,就容易误解不是前8个质数倍数,指不是9699690倍数)。
然后因为 \(k\) 的数据范围是16,所以直接这样 \(2^k\) 容斥枚举是T的,因为多测次数很多。所以正解的思路是,先对前8个质数进行容斥枚举,预处理出一个数组 \(sum[i]\) 表示 \(1\) 到 \(i\) 中,质因数不包含前8个质数的数字个数。然后只对第 \(8\) 到第 \(k\) 个质数进行枚举容斥。
就是这个什么叫只对后面几个数进行容斥,把我控了很久,因为普通的容斥,肯定是考虑前面和后面,总的选的数的个数,决定正负啥的。
然后我是这样去理解:
对一些位去容斥,最终目的是为了求出,1 - n 中不包含这些质因数的数字个数。然后我们对 9 到 k位去容斥,所以保证了这些数一定不包含9 到 k个质因数,然后我们只需要再保证这些数不包含前8个质因数,那这些数就是符合题意的。换言之,就是在容斥后几位的同时,保证能忽略掉前8位的影响。
然后具体的,由于容斥过程中,我们枚举了哪些质因数得到乘积 \(x\) 之后,我们要求的反而是 \(1 - n\) 中是 \(x\) 的倍数的个数。
因为是对后几个质因数容斥,所以我们要求的是 \(1-n\) 中是枚举到的后几个质因数的倍数的个数,因为忽略了前8位,所以我们还得保证求出来的这些数不能有前 8个质因数。也就是,通过容斥计算 \(1-n\) 不含后几位质因数的数量,在整个容斥过程中,还保证了全程枚举到的数不包含前 \(8\) 个质因数,所以最终算出来的就是前 \(k\) 个质因数都不包含的总数。
在后几位的容斥过程中,假如枚举到的乘积是 \(x\) ,问题转化为求 \(1-n\) 中是 \(x\) 的倍数,并且不包含前 \(8\) 个质因数的数字个数。
由于是 \(x\) 倍数,所以这些数 \(x, 2x, 3x \dots\) 一定能表示成 \(kx (1 \leq k \leq \lfloor \frac{n}{k} \rfloor)\) ,因为 \(x\) 是后几个质因数倍数,所以肯定不含前 \(8\) 个质因子。所以我们相当于,求 \(1 - \frac{n}{k}\) 中,有多少个数不含前 \(8\) 个质因数,这个问题等价于求 \(n_1 = \frac{n}{k}, k_1 = 8\) 的子问题了。所以可以预处理 \(k=8\) 的所有答案。
然后由于 \(n\) 很大,没办法预处理 \(n = 1 - 10^{18}, k = 8\) 的所有答案,这时候还需要发现一个性质。 由于前8个质因数的乘积,或者说是最小公倍数是9699690, 假设有一个比较大的 \(n\), 画在数轴上,把有前 \(8\) 个质因数的点 \(i\) 标1,那么显然这些数的 \(lcm\) 就是一个循环节,所以 这个很大的 \(n\) 的答案等于拥有这些循环节的个数乘上一个循环节的答案,加上多出来那一截 \(n \mod lcm\) 对应的答案。(从这个循环节和数轴的角度,感觉比较好理解题解里面那个为什么要取余 lcm)
所以得到题解里面那个式子,这里的答案指的是 \(k = 8\) 时,\(1-n\) 中不含前 \(8\) 个质因数的数字个数。
然后就是代码了