又一个奇技淫巧。
∫ 0 1 d y ∫ y 1 x 3 + 1 d x = ? \int _0 ^1 dy \int _{\sqrt y} ^ 1 \sqrt{x^3 + 1} dx = ? ∫01dy∫y1x3+1dx=?
解析：
不说话，看下图：
∫ 0 1 d y ∫ y 1 x 3 + 1 d x = ∫ 0 1 d x ∫ 0 x 2 x 3 + 1 d y = ∫ 0 1 x 2 x 3 + 1 d x = 1 3 ∫ 0 1 x 3 + 1 d ( x 3 + 1 ) = 1 3 ∫ 0 1 2 3 d ( x 3 + 1 ) 3 2 = 2 9 ( x 3 + 1 ) 3 2 ∣ 0 1 = 2 9 ( 2 2 − 1 ) \int _0 ^1 dy \int _{\sqrt y} ^ 1 \sqrt{x^3 + 1} dx =\\ \int _0 ^1 dx \int _{0} ^{x^2} \sqrt{x^3 + 1} dy =\\ \int _0 ^1 x^2 \sqrt{x^3 + 1} dx = \\ \frac{1}{3} \int_0 ^1 \sqrt{x^3 + 1} d(x^3+1) = \\ \frac{1}{3} \int_0 ^1 \frac{2}{3} d(x^3+1)^{\frac{3}{2}} = \\ \frac{2}{9}(x^3+1)^{\frac{3}{2}} | _0 ^ 1 = \\ \frac{2}{9} (2\sqrt {2} - 1) ∫01dy∫y1x3+1dx=∫01dx∫0x2x3+1dy=∫01x2x3+1dx=31∫01x3+1d(x3+1)=31∫0132d(x3+1)23=92(x3+1)23∣01=92(22−1)
总结：
- 二重积分交换积分次序要结合图形，这样比较简单方便，凭空想象是不太可能的。
- 二重积分如果两个未知数之间不是独立的，而是有一定的函数关系，此时，直接交换积分式时要小心。而假如两个未知数之间是独立的，那么两个积分可以任意组合，相当于两个单次积分之积。
