算法介绍
Kruskal 重构树用于快速判断节点的连通性.
考虑到，假如两个节点是联通的，则他们之间总会有一条边被选入最小生成树内，因此他们在最小生成树内也是联通的. 也就是说，我们可以通过求最小生成树来减少我们判断联通需要的边数.
Kruskal 重构树的思想是这样的：假如有一条生成树边 \((x,y)\)，则断开 \((x,y)\)，新建一个虚电 \(i\)，连接 \((x,i),(y,i)\)，在这样操作后，因为原生成树即为一棵树，因此新构成的图也是一棵树，并且树上任意一点的子树中的所有节点总是可达的. 这个操作可以在求生成树时同时进行.
对于带权的边，我们可以把边权直接放到点上. 注意到这样构造出来的重构树一定是二叉堆. 并且任意两点路径边权最大值为重构树上LCA的点权.
为什么是最大值？考虑到我们构建最小生成树的过程，最大的边一定会后选. 在考虑我们构建重构树的过程，后选的边总是作为新的父节点，因此两点的 LCA 即为两点间路径中最后选的那一个，即边权最大值.
注意到这一块可能是需要爆改的，改这个主要使用改最小生成树来实现，学长说跑什么生成树是需要变通的，比如要求最小边权就需要跑最大生成树，有时候还需要跑特殊生成树，只不过这个算法的思想是借助的 Kruskal 的，所以我们用最小生成树当例子.
首先新建 \(n\) 个集合，每个集合恰有一个节点，点权为 \(0\)
每一次加边会合并两个集合，我们可以新建一个点，点权为加入边的边权，同时将两个集合的根节点分别设为新建点的左儿子和右儿子。然后我们将两个集合和新建点合并成一个集合。将新建点设为根
此处模板使用 \(\gt n\) 的点作为虚点.
void Kruskal(){for(int i=1;i<=n;i++){fa[i]=i;}int cnt=0;sort(e+1,e+n+1);for(int i=1;i<=m;i++){int x=e[i].x, y=e[i].y, w=e[i].w;int fx=find(x),fy=find(y);if(fx^fy){val[++cnt+n]=w;fa[fx]=fa[fy]=fa[cnt+n]=now;e[cnt+n].push_back({fx,1});e[cnt+n].push_back({fy,1});}}
}
CF1706E Qpwoeirut and Vertices
这个题涉及到了重构树求最值的问题，写了比较有启发意义的爆改线段树
此题可以将时间戳设计成点权，考虑到重构树的特殊性质，我们可以将其按时间戳全部联通，根据任意两点路径边权最大值为重构树上LCA的点权，此题我们需要求的正好就是边权最大值，因此直接维护树上 LCA 即可. 取最值可以用 st 表或线段树.
这里没排序是因为时间戳是有序的，用的线段树来维护，更新子节点节点最大权值的时候也可以直接 LCA 解决，比较方便，只是常数比 LCA 大.
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,q,tot;
namespace dsu{int fa[300001];inline void clear(){for(register int i=1;i<=n+m;++i){fa[i]=i;}}inline int find(int id){if(id==fa[id]) return id;fa[id]=find(fa[id]);return fa[id]; }
}
vector<int>e[300001];
namespace lca{int fa[20][300001],deep[300001];inline void dfs(int now){for(int i=1;i<=19;++i){fa[i][now]=fa[i-1][fa[i-1][now]];}for(int i:e[now]){deep[i]=deep[now]+1;fa[0][i]=now;dfs(i);}}inline void prework(){for(register int i=1;i<=19;++i){for(register int j=1;j<=n+m;++j){fa[i][j]=fa[i-1][fa[i-1][j]];}}}inline int lca(int x,int y){if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y);for(register int i=19;i>=0;--i){if((deep[x]-deep[y])>=(1ll<<i)){x=fa[i][x];}}if(x==y) return x;for(register int i=19;i>=0;--i){if(fa[i][x]!=fa[i][y]){x=fa[i][x];y=fa[i][y];}}return x==y?x:fa[0][x];}
}
namespace stree{#define tol (id*2)#define tor (id*2+1)#define mid(x,y) mid=((x)+(y))/2struct tree{int l,r,w;}t[400001];inline void build(int id,int l,int r){t[id].l=l,t[id].r=r;if(l==r){t[id].w=l;return;}int mid(l,r);build(tol,l,mid);build(tor,mid+1,r);t[id].w=lca::lca(t[tol].w,t[tor].w);}inline int ask(int id,int l,int r){if(t[id].l==l and t[id].r==r) return t[id].w;int mid(t[id].l,t[id].r);if(r<=mid) return ask(tol,l,r);if(l>=mid+1) return ask(tor,l,r);return lca::lca(ask(tol,l,mid),ask(tor,mid+1,r));}
}
namespace hdk{namespace Iter{void cout(std::vector<int> &_v,int _from,int _to,char _devide){std::vector<int>::iterator iter;std::vector<int>::reverse_iterator riter;if(_from<_to){for(iter=_v.begin()+_from;iter!=_v.begin()+_to;++iter){std::cout<<*iter<<_devide;}}else{for(riter=_v.rbegin()+_to;riter!=_v.rbegin()+_from;++riter){std::cout<<*riter<<_devide;}}}}template<typename T>void memset(T a[],int _val,int _size){if(_val==0){for(T* i=a;i<=a+_size-1;++i) *i&=0;return;}for(T* i=a;i<=a+_size-1;++i)*i=_val;}namespace fastio{void rule(bool setting=false){std::ios::sync_with_stdio(setting);}inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-'){f=-1;}ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;}inline int read(int &A){A=read();return A;}inline char read(char &A){A=getchar();return A;}inline void write(int A){if(A<0){putchar('-');A=-A;}if(A>9){write(A/10);}putchar(A%10+'0');}inline void write(long long A){if(A<0){putchar('-');A=-A;}if(A>9){write(A/10);}putchar(A%10+'0');}inline void write(char A){putchar(A);}inline void space(){putchar(' ');}inline void endl(){putchar('\n');}#define w(a) write(a)#define we(a) write(a);endl()#define ws(a) write(a);space()}
}
using namespace hdk::fastio;
int main(){
// freopen("lagrange1.in","r",stdin);
// freopen("hdk.out","w",stdout);int cases;read(cases);while(cases--){read(n);read(m);read(q);tot=0;dsu::clear();for(int i=1;i<=n+m;++i){e[i].clear();}for(register int i=1;i<=m;++i){int x,y;read(x);read(y);int fx=dsu::find(x),fy=dsu::find(y);if(fx==fy) continue;e[i+n].push_back(fx);e[i+n].push_back(fy);dsu::fa[fx]=dsu::fa[fy]=i+n;tot=i+n;}lca::deep[tot]=1;lca::dfs(tot);// lca::prework();stree::build(1,1,n);for(register int i=1;i<=q;++i){int l,r;l=read();r=read();if(l^r){ws(stree::ask(1,l,r)-n);}else{putchar('0');putchar(' ');}}endl();}
}
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