详解 Hough 变换（基本原理与直线检测）-编程知识

详解 Hough 变换（基本原理与直线检测）

news/2024/11/15 22:14:35/文章来源:https://www.cnblogs.com/Gaowaly/p/18327804

Hough 变换原理与应用

前言：详细介绍了 Hough 变换的基本思想、基本原理和应用等。其中大多都是自己的理解，难免有偏差，仅供参考。

文章目录

Hough 变换原理与应用
- 1. 基本概述
- - 1.1 一些基本问题
  - 1.2 以例子说明
  - - 1.2.1 例子1：直线
    - 1.2.2 例子2：极坐标下的直线到参数空间的变换
    - 1.2.3 例子3：圆到参数空间的变换
- 2. Hough 直线检测
- - 2.1 问题
  - 2.2 思路
  - 2.3 总结
  - 2.4 提升
  - - 2.4.1 实际问题
    - 2.4.2 求解思路
    - 2.4.3 自编程实现
  - 2.5 openCV对应代码解读

1. 基本概述

1.1 一些基本问题

Hough 变换简单概括就是原空间到参数空间的变换。

以一条直线为例，常用直线方程为

何为到参数空间的变换呢？

直接了当地说就是，把参数当作变量（即坐标轴）。上面直线例子而言，就是把 k,b 当作横纵坐标构建的空间。注意，这一变换并非坐标系的变换（如：不是笛卡尔坐标向极坐标的变换；两者本质就不一样），Hough变换是始终以笛卡尔坐标系为基础，只是换了坐标轴（新空间中，坐标轴换成了原空间表达式中的参数，也是因此新空间叫参数空间。）

为何要变换到参数空间呢？

原空间中一些事物具有很强的关联性，但在原空间不好观察和把握，因此考虑从别的视角来表述它们关联性。参数空间就是一种，还有类似的傅里叶变换等等。所以，可以说，我们变换此空间，是为了更直观地揪出原坐标系下一系列点间的共同特点（或者说联系）。至于为什么选择参数空间，别问，问就是第一个想出这点的数学家的智慧和创新。并且，”很巧”的是，它在处理一些问题上确实很管用。

既然说参数选择不是固定的，如何选择最佳参数来构成参数空间？

这个不用操心，针对一些特定任务和问题，前人已经给出了答案了。

1.2 以例子说明

下面以三个例子说明上述自己理解得出的重点。

1.2.1 例子1：直线

事实上，使用这样例子并不好，容易给人带来误解，但又不得不从该例子说起。之所以说容易带来误解，原因在于：

我们遇到的问题，往往都是考察原坐标系下所给出的一系列点的关系问题。即基于点，去将这些点变换到参数空间；这个例子的表述，恰恰与此过程相反，该例子表述是已知结果（这些点是在一条直线上），去说明参数变换这回事。

两个是因果倒置的问题。这么说有些难以理解，下面例子会说明上面两句话要表达的含义。

我们考察直线到其参数空间的变换，这里参数就选择 k,b，变换如下图(a)(b)所示。

我们这样表述：左侧原空间下，对于直线

因此修改说：左侧原空间下，直线

Hough 变换不是常规的映射，不是点对点的对应关系，不是函数式的 f(x)。这点也可以说明它跟坐标系间变换有本质区别。

左侧原空间上的任意一点如 $[-\infty, \infty][−∞,∞]，但它俩不是各自随机，两者是有关系的。因为我们前面前提是经过 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0)(x0,y0) 点的直线，即y = k ( x − x 0 ) + y 0$

说明：用这个 y = kx + b 这个式子不好，因为后面例子都是把 x、y 放到一侧，两者式子下，过点限制条件是由差别的。使用

依据上式，也就是以 k，

反过来，参数空间一点，就对应于原空间里斜率为 k，截距为 b 的直线。

总结一下，这两个空间的关系可以这样表述：左侧原空间的直线对应右侧参数空间一点；左侧原空间一点对应右侧空间一条直线。这是比较有意思的相互关系，圆形变换其实也有这个特点。参数即变量，变量即参数的感觉。

基于此，我们就把刚才别扭的表述，说得准确些：对于左侧直线，我们用斜率 k 和截距 b 就可以描述它，并且唯一确定它，因此若建立一个斜率、截距空间，点(k，b)就可以表征一条原空间下斜率为 k 截距为 b 的直线。

那么是不是参数只能选择 k,b 呢？显然不是，比如你就可以选择参数空间里横坐标为 k+b, 纵坐标为 b，同等效果。但一般，参数选择要为计算、理解方便服务。

假设，我们发挥了自己的想象，采取了如下两个参数，即圆心到直线的距离 d 和这个垂线的角度 $\thetaθ，如下图所示。首先，我们明确的是，这两个参数是否可以唯一确定地表示这一直线？答案当时是肯定的，那么这个参数就能用。$

那么，问题就来了，如果以

首先，我们先把这条直线用 d 和 $\thetaθ ，我们要满足原空间里经过( x 0 , y 0 )，即x 0 cos ⁡ θ + y 0 sin ⁡ θ = x cos ⁡ θ + y sin ⁡ θ 也即有d = x 0 cos ⁡ θ + y 0 sin ⁡ θ 这里体现了 d 是有取值范围的。$

根据三角函数的和差角公式，可以写成

也就是说，在原空间里的任意一点

上面是直接给出了使用

上述只是直接给出了结果，是为了避免一些人将它与直角坐标系到极坐标系变换相混淆。下面给出推导：

使用极坐标系表示直角坐标里的点，有个对应关系，即

变换，即

两等式累加，即

也就是上面我们有提到的用

总结以上：原空间一点变换到参数空间的结果会随参数选择而变化，参数选择往往是基于计算方便、基于自己目的。

1.2.2 例子2：极坐标下的直线到参数空间的变换

问题来了，极坐标下直线一般方程是什么？同样是高中问题。

直角坐标下

使用常规推导，即

看着别扭，把 k 和 b 换下，即变成形如下式的形式

其中，m,n 为定值。也即 m,n 知道后就可以确定极坐标系下唯一直线，因此可以用 m,n 构建该极坐标系下直线的参数空间，即对应于一点(m,n)。只是它的物理意义在坐标系（极坐标系）里不那么看得出来。m,n 的物理意义是，该直线（在极坐标系下）映射到直角坐标系下的斜率和截距。贴个极坐标系下直线图

上式也可以利用三角函数的和差公式变换下，即得

也即

换下参数，即

其中，

三个小问题：

上面以
这里的 $\alpha,bα,b 都可以表示一条直线。因为从公式演化来看，两者都是受 m,n 控制，自由度受控，可能有些 α , b 是无效的，但可以确定的是，极坐标内任意直线都可以找到一组 α , b 与之唯一对应。感觉是如此，不再去印证。$
是否可以考虑参数

1.2.3 例子3：圆到参数空间的变换

有了上面的经验，我们考察一下圆。前面已经说过，表达形式不同，可选参数也是多样的。这里只给出常用的参数选择。

圆的一般方程（只考虑笛卡尔坐标系下）：

即圆心O坐标为

选择

按照前面对直线考察相同的步骤，参数空间里一点 (a,b,r) 就可以表示原空间里这一圆。不同之处在于，这里上升到了三维坐标。

同样考察对于原空间圆上一点

这个也就是选择 a,b,r 作为坐标轴的参数空间下方程。写得顺眼点就是

更顺眼点，即

这个方程不就是圆锥方程吗。

参考直线时的表述，我们就可以说：过原空间一点的所有圆对应于参数空间里的一个圆锥。

如下图（a）(b)所示

【参考Fig.2自己想象吧，用python画太费劲了，懒。想象：左图(a)是一个点，然后有无数过该点的圆(用虚线表示)；右图(b)是一个圆锥。当然也可以有志之士帮忙画一下】

事实上，不如我们把两者综合起来说，即

对于原空间坐标中的一点，如果我们考察对象是过该点的直线，那么对应于参数空间里，就是一条直线；如果我们考察对象是过该点的圆，那么对应于参数空间里，就是一个圆锥

两个小问题：

维度相较于考察对象为直线时增加了一个，是不是很神奇？自行见解。
一个点对应了参数空间的一个圆锥，后面应用时(Hough圆检测)，计算量会非常非常大。因此一般不会直接应用，会有改进或别的思路。下面圆形检测部分会详解。

一个有意思的东西：

换个思路表示圆形，即

x = a + r

y = b + r

上面消去了 $，会变成了圆一般方程(x-a)^2+(x-b)^2 = r^2，这里我们消去r试试，即变成y−b=(x−a)tanθ如果以 a , b , θ 为参数会怎样呢？$

一个更有意思的东西：

对于原空间中一点，考察经过该点的所有圆，事实上使用 (a,b) 就可以唯一表示一个圆了，即圆心为(a,b)，且经过该点，就已经确定唯一圆了，即只考虑参数 a,b 不就够了吗？

换个更简单的，对于原空间一点，考察经过该点的所有直线，事实上使用斜率 k 就可以唯一表示一条线了，即斜率为k，且经过该点，截距自然而然就确定了。那只考虑参数 k 不就够了吗？为什么参数空间里还要使用两个参数 k,b 来确定经过该点唯一直线。

其实这个问题有些诡辩的意味。稍微思考一下就可以反驳，如果仅用 k 表达，也即参数空间是个一维坐标轴，反推一下，参数空间里一个 k 能表达一条唯一的线吗？显然不能。加入b的原因，就可以简单理解为是为了把经过该点的信息囊括进去。

更简单直白点就是，参考例子 1 ，实际上 b 并不是单独参数，它只是 k的函数，即f(k)，如例子1中的纵轴其实是

圆形Hough下，同样的原因。

至此，或许对 Hough 变换有了那么一点理解，或者说，有那么点印象了。

下面就直入主题，Hough变换的直线检测和圆检测，以及改进后的其它检测。

2. Hough 直线检测

将前面的结论再说一遍：

对于原空间里的一点，过该点有无数的直线，每条直线唯一对应着参数空间中的一点，而所有直线就对应参数空间里无数的点，这些无数点连起来就是一条直线

先从解决一个简单问题入手。

2.1 问题

如何基于上述 Hough 变换的特点，检测三个点，即

2.2 思路

根据上面 Hough 直线变换的特点，这里使用 k,b 参数进行分析说明。

先考察 a(-1, 0)点，经过该点有无数的线，映射到 k,b 参数空间是一条直线。而 k,b 空间上该线一点也就对应于原空间这无数线中的其中一条。如下图(b)中红点，就对应于原空间红线。

下面给出参数空间曲线求解过程（可参考例子1 过程）：

经过 a(1,2) 点的所有直线可表示为：

同理方法，对于 b,c 点做一样的参数空间变换，最后结果如 Fig.5 所示

右侧参数空间里，有个特殊点 (1,1)，参数空间里三个线都经过这点。也即有

对于 a ，该特殊点含义是，原空间中，有个斜率为 k=1，截距 b=1 的直线经过它。
对于 b ，该特殊点含义是，原空间中，有个斜率为 k=1，截距 b=1 的直线经过它。
对于 c ，该特殊点含义是，原空间中，有个斜率为 k=1，截距 b=1 的直线经过它。

换句话说，原空间里有一条直线经过了这三点。即 Fig.5 (a) 中的红色线。

至此，我们达到了目的。即三点在一条线上。且该线的斜率为1，截距为1。也即图fig.5(b)中参数空间的红色交点。

2.3 总结

所以对于直线检测，我们只需对每个点进行参数空间的直线变换，然后查看参数空间的交点情况。

如果没有交点，就是不共线。如果有 N 个直线交于一点，对应原空间里就是 N 个点共线。我们可以把 N 称作叠加度，或者说参数空间中该点的亮度（名字乱起的）。亮度越高，共线的点越多，在原图中能直接观察到直线的可能性越大。

有意思的一点是，原空间两个点对应到参数空间会怎样？毕竟原空间中两点必共线，那参数空间是否必相交？参数空间里仅有两条线，且平行，对应原空间的两点是什么情况？

2.4 提升

2.4.1 实际问题

有了以上思路，就可以用 Hough 直线检测来解决实际问题了。

Hough 直线检测一般用于二值图中的直线检测，通常是一张图经过边缘算子后，检测边缘二值图是否存在直线。

如，利用 Hough 直线检测，检测 Lena 图中存在的直线。

2.4.2 求解思路

如果没有参考其他已有代码，而是基于上述一些知识，自己实现编程可能会遇到一些问题（比如我就是）。

即，如果我用 k,b 当参数空间，我可以很容易得到经过一点 $(x_0,y_0)(x0,y0)，变换到参数空间里的直线为$

但问题是，k 可以取无穷大，b 也是，毕竟是条直线。我怎么编程表示出这条直线，因为后续还要计算各点对应线的交点，叠加度。直线无法表示出，怎么求交点？

有一种思路是解方程，考虑所有点变换到参数空间后的线方程，即

问题转化为，得到一组组解（k,b），该解满足的方程数即为交点叠加度（或亮度）。具体解法，先将方程转化为参数矩阵，利用矩阵，然后慢慢折腾吧。（这是遇到问题后自己想到的，可行与否，未知，且不探究。感觉可行，实在不济，两两方程求解，把解带入其他方程验证。但计算复杂度可能会特别特别高。）

第二种思路就是使用之前提到的有取值范围的

这似乎就可以用编程来实现了。

编程实现如下：

def getLine(x0,y0,angs_resolution= 100):"""x0: 原空间下点横坐标y0: 原空间下点纵坐标angs_resolution: \theta 划分精度功能：原空间(x0,y0)点，变换到 d, \theta 参数空间的曲线。说明：因为计算机存储是离散值，所以只是 \theta 取到一些值下的直线。当然，\theta 取值越多，越精细。"""angs = np.linspace(0, 2*np.pi, angs_resolution) # 定义\theta 取到的离散值d = x0 * np.cos(angs) + y0 * np.sin(angs)return angs,d

测试一下，点 (x0, y0) 设为 (1, 1)，运行程序，可以得到如下结果

原空间中一点，对应到
求原空间所有点对应的正弦线，计算亮度

事实上，getLine()输出的是一系列离散点，点横坐标是 $\thetaθ 都是相同的，因此我们只需检查每组对应位 d 是否相同（或小于某一阈值）即可。$

2.4.3 自编程实现

完整代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import cv2def getLine(x0,y0,angs_resolution= 100):"""x0: 原空间下点横坐标y0: 原空间下点纵坐标angs_resolution: \theta 划分精度功能：原空间(x0,y0)点，变换到 d, \theta 参数空间的曲线。说明：因为计算机存储是离散值，所以只是 \theta 取到一些值下的直线。当然，\theta 取值越多，越精细。"""angs = np.linspace(0, 2*np.pi, angs_resolution) # 定义\theta 取到的离散值d = x0 * np.cos(angs) + y0 * np.sin(angs)return angs,ddef Hough(edgeImg, angsDiv = 500, dDiv=1000):# 获取图像尺寸ySize, xSize = edgeImg.shape# 得到二值图中所有点坐标(x,y)y, x = np.where(edgeImg != 0)# 大致确定 d 范围dMax = np.sqrt(np.max(y)**2+np.max(x)**2)# 分辨率d_res = 2*dMax/(dDiv-1)ang_res = 2*np.pi/(angsDiv-1)# 亮度模板，起初为全黑，当经过某点，亮度 +1template = np.zeros((dDiv, angsDiv), dtype = np.uint8)# 亮度叠加计算for xx in range(len(x)):_, _d = getLine(x[xx], y[xx], angsDiv)_n = ((_d+dMax)/d_res).astype(np.int64)angle = np.arange(0, angsDiv)for p in zip(angle, _n):template[p[1], p[0]] = template[p[1], p[0]] + 1return templateif __name__ == "__main__":# 读取图片imgPath = "C:\\Users\\zhangwei156\\Desktop\\figure\\lena.bmp"grayImg = cv2.imread(imgPath, 0)# 提取边缘edgeImg = cv2.Canny(grayImg, 300, 500)# 设置离散的精度angsDiv = 500dDiv = 1000# 霍夫变换forceImg = Hough(edgeImg, angsDiv, dDiv)plt.imshow(edgeImg)plt.show()plt.imshow(forceImg)plt.show()

结果如下

另！验证代码也贴上吧：

# 一些后面要用到的常数
y, x = np.where(edgeImg != 0)
dMax = np.sqrt(np.max(y)**2+np.max(x)**2)
d_res = 2*dMax/(dDiv-1)
ang_res = 2*np.pi/(angsDiv-1)# 这是只考察了最大点，即亮度最大的点
ind = np.where(forceImg == np.max(forceImg))# theta 和 d 的真实值
theta = (ind[1])* ang_res
d = -dMax + (ind[0]) * d_res# 对应原空间的直线
xx = np.arange(512)
i = 0
yy = (d[i] - xx*np.cos(theta[i]))/np.sin(theta[i])plt.plot(xx, yy, "r", linewidth = 0.3)
plt.imshow(edgeImg)
plt.show()