洛谷P3369 普通平衡树之板子

洛谷P3369题解

传送锚点

摸鱼环节

【模板】普通平衡树

题目描述

您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一些数，其中需要提供以下操作：

1. 插入一个数 \(x\)。
2. 删除一个数 \(x\)（若有多个相同的数，应只删除一个）。
3. 定义排名为比当前数小的数的个数 \(+1\)。查询 \(x\) 的排名。
4. 查询数据结构中排名为 \(x\) 的数。
5. 求 \(x\) 的前驱（前驱定义为小于 \(x\)，且最大的数）。
6. 求 \(x\) 的后继（后继定义为大于 \(x\)，且最小的数）。

对于操作 3,5,6，不保证当前数据结构中存在数 \(x\)。

输入格式

第一行为 \(n\)，表示操作的个数,下面 \(n\) 行每行有两个数 \(\text{opt}\) 和 \(x\)，\(\text{opt}\) 表示操作的序号（$ 1 \leq \text{opt} \leq 6 $）

输出格式

对于操作 \(3,4,5,6\) 每行输出一个数，表示对应答案。

样例 #1

样例输入 #1

10
1 106465
4 1
1 317721
1 460929
1 644985
1 84185
1 89851
6 81968
1 492737
5 493598

样例输出 #1

106465
84185
492737

简单分析下题目，很明显可以选择用平衡树来AC他，一般来说旋转平衡树是基础，但我不会啊FHQtreep明显更有性价比，作为20世纪的好青年，当然是什么简单写什么选择顺应时代的写法，所以这题成为了FHQtreep训练鸡。

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正片开始

1. 合理建树

直接选择结构体来处理树。
咱需要：

• l,r表示左子树和右子树；
• val存储权值；
• rnd存储随机权值；
• size存储当前树的大小；
• 写一个newnode函数存入新建点；

code：

struct 
{int l,r;int val;int rnd;int size;
}tr[N];
int root=0,n=0;
inline int _rand(){return rnd();}
int newnode(int v)
{tr[++n].val=v;tr[n].rnd=_rand();tr[n].size=1;return n;
}

2.处理更新必要部分

将左右子树更新后加上自己，很简单，但别忘了。

code:

void pushup(int p){tr[p].size=tr[tr[p].l].size+tr[tr[p].r].size+1;}

3.核心操作之分裂合并

1. 对于分裂，递归处理即可。勿忘更新。

void split(int p,int v,int &x,int &y)
{if(!p) {x=y=0;return;}if(tr[p].val<=v){x=p;split(tr[p].r,v,tr[p].r,y);}else{y=p;split(tr[p].l,v,x,tr[p].l);}pushup(p);
}

2. 对于合并操作，如果子树为空，直接相加即可。选择小根队，判断下左子树与右子树的随机权值，将较小的作为根即可。记得更新。

code：

int merge(int x,int y)
{if(!x||!y) {return x+y;}if(tr[x].rnd<tr[y].rnd){tr[x].r=merge(tr[x].r,y);pushup(x);return x;}else{tr[y].l=merge(x,tr[y].l);pushup(y);return y;}
}

4. 其余操作处理

太水了，分分合合就行了

• 增加操作，将树以v分成两个子树，建立一个新的插入点，可视作第三棵子树，然后将三棵子树合并即可。

code：

void insert(int v)
{int x,y;split(root,v,x,y);int z=newnode(v);root=merge(merge(x,z),y);
} 

• 删除操作只需将树分成三棵子树，并将所需要删除的点的树上左子树和右子树直接合并即可。

code：

void del(int v)
{int x,y,z;split(root,v,x,z);split(x,v-1,x,y);y=merge(tr[y].l,tr[y].r);root=merge(merge(x,y),z);
}

• 接下来的操作都可以参考上述方法，很容易得出结果。

code：

int rank(int v)
{int x,y;split(root,v-1,x,y);int ans=tr[x].size+1;root=merge(x,y);return ans;
}
int topk(int p,int k)
{int lsz=tr[tr[p].l].size;if(k==lsz+1) return tr[p].val;if(k<=lsz) return topk(tr[p].l,k);return topk(tr[p].r,k-lsz-1);
}
int get_pre(int v)
{int x,y;split(root,v-1,x,y);int ans=topk(x,tr[x].size);root=merge(x,y);return ans;
}
int get_suc(int v)
{int x,y;split(root,v,x,y);int ans=topk(y,1);root=merge(x,y);return ans;
}

函数部分到此结束。

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完整代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e6+5;
unsigned long long seed=1;
std::mt19937 rnd(std::random_device{}());
struct fhq
{struct {int l,r;int val;int rnd;int size;}tr[N];int root=0,n=0;inline int _rand(){return rnd();}int newnode(int v){tr[++n].val=v;tr[n].rnd=_rand();tr[n].size=1;return n;}void pushup(int p){tr[p].size=tr[tr[p].l].size+tr[tr[p].r].size+1;}void split(int p,int v,int &x,int &y){if(!p) {x=y=0;return;}if(tr[p].val<=v){x=p;split(tr[p].r,v,tr[p].r,y);}else{y=p;split(tr[p].l,v,x,tr[p].l);}pushup(p);}int merge(int x,int y){if(!x||!y) {return x+y;}if(tr[x].rnd<tr[y].rnd){tr[x].r=merge(tr[x].r,y);pushup(x);return x;}else{tr[y].l=merge(x,tr[y].l);pushup(y);return y;}}explicit fhq() { memset(tr, 0, sizeof tr); }int size() { return tr[root].size; }void insert(int v){int x,y;split(root,v,x,y);int z=newnode(v);root=merge(merge(x,z),y);} void del(int v){int x,y,z;split(root,v,x,z);split(x,v-1,x,y);y=merge(tr[y].l,tr[y].r);root=merge(merge(x,y),z);}int rank(int v){int x,y;split(root,v-1,x,y);int ans=tr[x].size+1;root=merge(x,y);return ans;}int topk(int p,int k){int lsz=tr[tr[p].l].size;if(k==lsz+1) return tr[p].val;if(k<=lsz) return topk(tr[p].l,k);return topk(tr[p].r,k-lsz-1);}int get_pre(int v){int x,y;split(root,v-1,x,y);int ans=topk(x,tr[x].size);root=merge(x,y);return ans;}int get_suc(int v){int x,y;split(root,v,x,y);int ans=topk(y,1);root=merge(x,y);return ans;}
};
int main()
{int n,m;cin>>m;fhq t;int ans=0;while(m--){int op,x;cin>>op>>x;if(op==1) t.insert(x);if(op==2) t.del(x);if(op==3) cout<<t.rank(x)<<endl;if(op==4) cout<<t.topk(t.root,x)<<endl;if(op==5) cout<<t.get_pre(x)<<endl;if(op==6) cout<<t.get_suc(x)<<endl;}return 0;
}

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双倍经验之洛谷P6136

传送锚点

题目简述：

【模板】普通平衡树（数据加强版）

题目背景

本题是 P3369 数据加强版，扩大数据范围并增加了强制在线。

题目的输入、输出和原题略有不同，但需要支持的操作相同。

题目描述

您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一些整数，其中需要提供以下操作：

1. 插入一个整数 \(x\)。
2. 删除一个整数 \(x\)（若有多个相同的数，只删除一个）。
3. 查询整数 \(x\) 的排名（排名定义为比当前数小的数的个数 \(+1\)）。
4. 查询排名为 \(x\) 的数（如果不存在，则认为是排名小于 \(x\) 的最大数。保证 \(x\) 不会超过当前数据结构中数的总数）。
5. 求 \(x\) 的前驱（前驱定义为小于 \(x\)，且最大的数）。
6. 求 \(x\) 的后继（后继定义为大于 \(x\)，且最小的数）。

本题强制在线，保证所有操作合法（操作 \(2\) 保证存在至少一个 \(x\)，操作 \(4,5,6\) 保证存在答案）。

输入格式

第一行两个正整数 \(n,m\)，表示初始数的个数和操作的个数。

第二行 \(n\) 个整数 \(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n\)，表示初始的数。

接下来 \(m\) 行，每行有两个整数 \(\text{opt}\) 和 \(x'\)，\(\text{opt}\) 表示操作的序号（$ 1 \leq \text{opt} \leq 6 \(），\)x'$ 表示加密后的操作数。

我们记 \(\text{last}\) 表示上一次 \(3,4,5,6\) 操作的答案，则每次操作的 \(x'\) 都要异或上 \(\text{last}\) 才是真实的 \(x\)。初始 \(\text{last}\) 为 \(0\)。

输出格式

输出一行一个整数，表示所有 \(3,4,5,6\) 操作的答案的异或和。

样例 #1

样例输入 #1

6 7
1 1 4 5 1 4
2 1
1 9
4 1
5 8
3 13
6 7
1 4

样例输出 #1

6

提示

样例解释

样例加密前为：

6 7
1 1 4 5 1 4
2 1
1 9
4 1
5 9
3 8
6 1
1 0

限制与约定

对于 \(100\%\) 的数据，\(1\leq n\leq 10^5\)，\(1\leq m\leq 10^6\)，\(0\leq a_i,x\lt 2^{30}\)。

本题输入数据较大，请使用较快的读入方式。

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\(\text{upd 2022.7.22}\)：新增加 \(9\) 组 Hack 数据。

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思路还是一模一样，这里直接给到代码。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <random>
using namespace std;const int N=1e6+1e5+1;
unsigned long long seed=1;std::mt19937 rnd(std::random_device{}());
struct fhq
{struct{int l,r;int val;int rnd;int size;}tr[N];int root=0,n=0;inline int _rand(){return rnd();}int newnode(int v){tr[++n].val=v;tr[n].rnd=_rand();tr[n].size=1;return n;}void pushup(int x){tr[x].size=tr[tr[x].l].size+tr[tr[x].r].size+1;}void split(int rt,int v,int &x,int &y){if(!rt) {x=y=0;return;}if(tr[rt].val<=v){x=rt;split(tr[rt].r,v,tr[rt].r,y);}else{y=rt;split(tr[rt].l,v,x,tr[rt].l);}pushup(rt);}int merge(int x,int y){if(!x||!y) return x+y;if(tr[x].rnd<tr[y].rnd){tr[x].r=merge(tr[x].r,y);pushup(x);return x;}else{tr[y].l=merge(x,tr[y].l);pushup(y);return y;  }}explicit fhq(){memset(tr,0,sizeof tr);}int size(){return tr[root].size;}void insert(int v){int x,y;split(root,v,x,y);int z=newnode(v);root=merge(merge(x,z),y);}void del(int v){int x,y,z;split(root,v,x,z);split(x,v-1,x,y);y=merge(tr[y].l,tr[y].r);root=merge(merge(x,y),z);}int rank(int v){int x,y;split(root,v-1,x,y);int ans=tr[x].size+1;root=merge(x,y);return ans;}int topk(int rt,int k){int lsz=tr[tr[rt].l].size;if(k==lsz+1) return tr[rt].val;if(k<=lsz) return topk(tr[rt].l,k);return topk(tr[rt].r,k-lsz-1);}int get_pre(int v){int x,y;split(root,v-1,x,y);int ans=topk(x,tr[x].size);root=merge(x,y);return ans;}int get_suc(int v){int x,y;split(root,v,x,y);int ans=topk(y,1);root=merge(x,y);return ans;}
};
int main(void)
{int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);    fhq t;int w;for(int i=0;i<n;i++) {scanf("%d", &w);t.insert(w);}int ans=0,last=0;while(m--){int op,x;scanf("%d%d", &op, &x);x^=last;if(op==1) t.insert(x);if(op==2) t.del(x);if(op==3) {last=t.rank(x);ans^=last;}if(op==4) {last=t.topk(t.root,x);ans^=last;}if(op==5) {last=t.get_pre(x);ans^=last;}if(op==6) {last=t.get_suc(x);ans^=last;}}printf("%d\n", ans);return 0;
}

本蒟蒻只能写到这。
谢谢！