蒙特卡洛模拟（4）————书店买书问题(0-1规划)

news/2025/3/17 22:29:14/文章来源:https://www.cnblogs.com/dlmuwxw/p/18341993

一、问题提出
二、模型建立
- 1.符号建立
- 2.规定约束
- 3.获得目标函数
三、代码求解
- 1.预备知识
  - （1）unique函数
  - （2）randi函数
- 2.变量设置与初始化
- 3.输入循环进行模拟
四、模型拓展

一、问题提出

二、模型建立

1.符号建立

在图表上，我们可以看见有六家商店和五本书，在代码中我们往往用矩阵来表示这个信息，因此我们需要规定一些符号来表示信息
i=1,2,.....6，表示A，B，.....，F这六家商店
j=1,2...5，表示这B1,B2....，B5五本书
自然，我们规定mij表示j书在i商店的售价，qi表示第i家店的运费
引入0-1变量xij，1表示在第i家店买第j本书，0表示没买。这样的话，用这些0-1数值直接去乘价格矩阵，相加后就可以得到最后的价格

2.规定约束

这个问题的约束相对简单，即每本书只买一本

3.获得目标函数

我们的目标函数就是使得费用最小，而费用有两部分，第一部分是书的价格，第二部分是运费。在代码求解的过程中，我们会介绍利用索引的方法来提取数据，计算运费

三、代码求解

我们如果用计算机模拟，并不需要规定那么多符号，但是计算机模拟也不是万能的。
在这里只有7776（6^5）种情况，我们只需要进行多次模拟即可找到最优解。但如果情况数目更多，只用计算机模拟会导致计算量过大，从而难以找到最优解，因此学会模型的建立也是必须的
下面我们来介绍这个问题的代码部分

1.预备知识

（1）unique函数

unique([1 2 5; 6 8 9;2 4 6])
ans=[1 2 4 5 6 8 9]'
unique函数可以剔除一个矩阵或者向量的重复值，并将结果按照从小到大的顺序排列

（2）randi函数

randi([a,b],m,n)
randi函数可在指定区间[a,b]内随机取出大小为m*n的整数矩阵

2.变量设置与初始化

min_money = +Inf;  % 初始化最小的花费为无穷大，后续只要找到比它小的就更新
min_result = randi([1, 6],1,5);  % 初始化五本书都在哪一家书店购买，后续我们不断对其更新
%若min_result = [5 3 6 2 3]，则解释为：第1本书在第5家店买，第2本书在第3家店买，第3本书在第6家店买，第4本书在第2家店买，第5本书在第3家店买  
n = 100000;  % 蒙特卡罗模拟的次数
M = [18	 39	29	48	5924	45	23	54	4422	45	23	53	5328	47	17	57	4724	42	24	47	5927	48	20	55	53];  % m_ij  第j本书在第i家店的售价
freight = [10 15 15 10 10 15];  % 第i家店的运费

3.输入循环进行模拟

（1）进行循环后，我们首先得到了一个result，之后用unique函数将其排序后，得到了一个由小到大排序的索引向量，将这个向量带入到freight中，就可以得到对应的运费，对其求和得到总运费
（2）然后加上五本书的售价，这个过程需要进行五次循环，第i次循环找出第i列的某个数，而这个数处于result(i)行
（3）之后判断是否小于最小花费，如果小于就更新最小值与最小值结果

for k = 1:n  % 开始循环result = randi([1, 6],1,5); % 在1-6这些整数中随机抽取一个1*5的向量，表示这五本书分别在哪家书店购买index = unique(result);  % 在哪些商店购买了商品，因为我们等下要计算运费money = sum(freight(index)); % 计算买书花费的运费% 计算总花费：刚刚计算出来的运费 + 五本书的售价for i = 1:5   money = money + M(result(i),i);  endif money < min_money  % 判断刚刚随机生成的这组数据的花费是否小于最小花费，如果小于的话min_money = money  % 我们更新最小的花费min_result = result % 用这组数据更新最小花费的结果end
end
min_money   % 18+39+48+17+47+20
min_result