数论总结

数学是毒瘤

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基础数论总结。

数论题的代码都是一个个板子拼起来的，本博客只放板子。

声明：本博客中出现的所有代码，都视为加入了 #define int long long

数论题的特点

1. 题目大意简洁易懂。但有的题还是会古舟一堆

2. 码量小，全是板子

3. 极其难想，需要手推公式

4. long long 是标配

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筛法

筛法可以储存所有的质数，也可以 \(O(1)\) 判断质数。

埃氏筛法

时间复杂度 \(O(N\log\log N)\)。

vector<int> pri;
bool is_prime[MAXN];void primes(int n) {for (int i = 2; i <= n; i++) {if (is_prime[i]) continue;pri.push_back(i);for (int j = i; j <= n / i; j++) is_prime[i * j] = 1;}
}

线性筛法

线性筛法，也称欧拉筛法，时间复杂度 \(O(N)\)。

vector<int> pri;
bool is_prime[MAXN];void primes(int n) {for (auto &x : is_prime) x = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {if (is_prime[i]) pri.push_back(i);for (auto j : pri) {if (i * j > n) break;is_prime[i * j] = 0;if (i % j == 0) break;}}
}

分解质因数

任何一个大于 \(1\) 的正整数 \(N\) 都能唯一分解为有限个质数的乘积，可写作：\(N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}\cdots p_m^{c_m}\)。

其中 \(c_i\) 都是正整数，\(p_i\) 都是质数，且满足 \(p_1<p_2<\cdots<p_m\)。

算术基本定理的推论

\(N\) 的正约数个数为：

\[(c_1+1)(c_2+1)\cdots(c_m+1)=\prod_{i=1}^m\left(c_i+1\right) \]

\(N\) 的所有正约数的和为：

\[(1+p_1+p_1^2+\cdots+p_1^{c_1})\cdots(1+p_m+p_m^2+\cdots p_m^{c_m})=\prod_{i=1}^m\left(\sum_{j=0}^{c_i}p_i^j\right) \]

试除法分解质因数

int m, p[MAXN], c[MAXN];void divide(int n) {m = 0;for (int i = 2; i * i <= n; i++)if (n % i == 0) {p[++m] = i, c[m] = 0;while (n % i == 0) {n /= i;c[m]++;}}if (n > 1) p[++m] = n, c[m] = 1;
}

最大公约数

欧几里得算法

即辗转相除法，时间复杂度 \(O(\log N)\)。

inline int gcd(int a, int b) {if (b == 0) return a;return gcd(b, a % b);
}

欧拉函数

定义

定义 \(\varphi(n)\) 表示的是小于等于 \(n\) 和 \(n\) 互质的数的个数。

例如 \(\varphi(1)=1\)。

当 \(n\) 是质数的时候，显然有 \(\varphi(n) = n - 1\)。

2024/7/11 upd. 欧拉函数的公式如下：（其中 \(p_{1\dots m}\) 为 \(x\) 的所有质因数）

\[\varphi(n)=n\times\prod_{i=1}^m\left(1-\frac1{p_i}\right) \]

单个数求欧拉函数

inline int euler_phi(int x) {int res = x;for (int i = 2; i * i <= x; i++)if (x % i == 0) {res = res / i * (i - 1);while (x % i == 0) x /= i;}if (x > 1) res = res / x * (x - 1);return res;
}

筛法求欧拉函数

利用线性筛法可以快速求出多个数的欧拉函数值。

constexpr int MAXN = 5e6 + 5;
vector<int> prime;
int phi[MAXN];void euler(int n) {phi[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {if (!phi[i]) {prime.push_back(i);phi[i] = i - 1;}for (auto j : prime) {if (i * j > n) break;if (i % j != 0)phi[i * j] = phi[i] * phi[j];else {phi[i * j] = phi[i] * j;break;}}}
}

扩展欧拉定理

欧拉定理

若正整数 \(a,n\) 互质，则 \(a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod{n}\)。

欧拉定理的推论

若正整数 \(a,n\) 互质，则对于任意正整数 \(b\)，有 \(a^b\equiv a^{b\bmod\varphi(n)}\pmod{n}\)。

当 \(a,n\) 不一定互质且 \(b>\varphi(n)\) 时，有 \(a^b\equiv a^{(b\bmod\varphi(n))+\varphi(n)}\pmod{n}\)。

扩展欧拉定理可用于解决大整数乘方取模问题。

扩展欧几里得

裴蜀定理

对于任意整数 \(a,b\)，存在一对整数 \(x,y\)，满足 \(ax+by=\gcd(a,b)\)。

扩展欧几里得算法可以在求得 \(\gcd(a,b)\) 的前提下，求解形如 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的方程的解。

由于形如 \(ax\equiv b\pmod p\) 的线性同余方程可以改写为 \(ax+pk=b\) 的形式，所以线性同余方程也可用扩展欧几里得求解。当然，由裴蜀定理，有整数解的充要条件为 \(\boldsymbol{\gcd(a,p)\mid b}\)。线性同余方程也可用逆元求解。计算 \(a\) 的逆元，然后两边同除以 \(a\) 的逆元可得到一个解。

扩展欧几里得算法同样可以求单个数的乘法逆元。

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {if (b == 0) {x = 1;y = 0;return a;}int res = exgcd(b, a % b, x, y);int t = x;x = y;y = t - a / b * y;return res;
}

乘法逆元

费马小定理

若 \(p\) 是质数且 \(a,p\) 互质，则 \(a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}\)。

另一个形式：对于任意整数 \(a\)，有 \(a^p\equiv a\pmod{p}\)。

定义

如果一个线性同余方程 \(ax \equiv 1 \pmod b\)，则 \(x\) 称为 \(a \bmod b\) 的逆元，记作 \(a^{-1}\pmod{b}\)。其实就是倒数

若 \(\boldsymbol b\) 是质数且 \(\boldsymbol{a<b}\)，由费马小定理，易得 \(\boldsymbol{a^{b-2}}\) 即为乘法逆元。

如果只是保证 \(a,b\) 互质，则我们可以通过求解同余方程 \(ax\equiv 1\pmod b\) 得到乘法逆元。

扩展欧几里得求单个数的乘法逆元

参见上文，不再赘述。

费马小定理求逆元

参见上文，代码如下：

inv[0] = 1;
for (int i = 1; i < MAXN; i++) inv[i] = power(i, MOD - 2, MOD);

时间复杂度 \(O(N\log N)\)，可以在数据规模不大于 \(10^6\) 时求出逆元。

线性求逆元

P3811 乘法逆元

求 \(1\dots n\) 中所有整数在模 \(p\) 意义下的乘法逆元。

\(1\le n\le 3\times 10^6\)，\(n<p<20000528\)，保证 \(p\) 为质数。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;constexpr int MAXN = 3e6 + 5;
int n, p, inv[MAXN];signed main() {cin >> n >> p;inv[1] = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;for (int i = 1; i <= n; i++) cout << inv[i] << '\n';return 0;
}

中国剩余定理

引入

「物不知数」问题：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

定义

中国剩余定理 (Chinese Remainder Theorem, CRT) 可求解如下形式的一元线性同余方程组（其中 \(n_1, n_2, \cdots, n_k\) 两两互质）：

\[\begin{cases} x &\equiv a_1 \pmod {n_1} \\ x &\equiv a_2 \pmod {n_2} \\&\vdots \\ x &\equiv a_k \pmod {n_k} \\ \end{cases} \]

上面的「物不知数」问题就是一元线性同余方程组的一个实例。

过程

1. 计算所有模数的积 \(n\)；
2. 对于第 \(i\) 个方程：
   • 计算 \(m_i=n/n_i\)；
   • 计算 \(m_i\) 在模 \(n_i\) 意义下的逆元 \(m_i^{-1}\)；
   • 计算 \(c_i=m_im_i^{-1}\)（不要对 \(\boldsymbol{n_i}\) 取模）。
3. 方程组在模 \(n\) 意义下的唯一解为：\(x=\sum_{i=1}^k a_ic_i \pmod n\)。

实现

int crt(int k, int r[], int a[]) {int n = 1, ans = 0;for (int i = 1; i <= k; i++) n *= r[i];for (int i = 1; i <= k; i++) {int m = n / r[i], b, y;exgcd(m, r[i], b, y);ans = (ans + a[i] * m * b % n) % n;}return (ans % n + n) % n;
}