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【模板】最长公共子序列
题目描述
给出 $1,2,\ldots,n$ 的两个排列 $P_1$ 和 $P_2$ ，求它们的最长公共子序列。
输入格式
第一行是一个数 $n$。
接下来两行，每行为 $n$ 个数，为自然数 $1,2,\ldots,n$ 的一个排列。
输出格式
一个数，即最长公共子序列的长度。
样例 #1
样例输入 #1
5
3 2 1 4 5
1 2 3 4 5
样例输出 #1
3
提示
- 对于 $50%$ 的数据， $n \le 10^3$；
- 对于 $100%$ 的数据， $n \le 10^5$。
算法1
(LCS -> LIS) $O(n*logn)$
注意点：
看数据范围 $n \le 10^5$ 用朴素的LCS** $O(n^2)$**,肯定会超时；
想办法优化一下,我们直到最长上升子序列有一个二分优化版本： $O(nlogn)$
那么如何把最长公共子序列问题转化为最长上升子序列问题呢？
1.首先由题意可知，每行是已$1- n$组成的排列，说明两个数组中出现的元素是相同的，只是元素所在的位置不同
2.特性：最长公共子序列不是唯一的，但最长公共子序列的长度是唯一的
3.那么我们利用这一点，用st[]数组存放，a序列当中每个元素在b序列中出现的顺序，求b的最长LIS
看样例分析
a[] : 3 2 1 4 5
b[] : 1 2 3 4 5st_a : 1 2 3 4 5
st_b : 3 2 1 4 5 b中的最长上升子序列 ： 1 4 5
已知a数组是单调递增的，因此在b序列中找到的子序列，一定是a的子序列，
保证当前f[]中存放的是上升子序列的最小结尾值的下标
C++ 代码
//O(nlongn)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 1e5 + 10;int n;
int a[N],b[N];
int st[N]; //再a序列当中出现的位置
int f[N]; //当前公共子序列中结尾下标最小的int main() {scanf("%d",&n);for(int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%d",&a[i]);st[a[i]] = i;}for(int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%d",&b[i]);}int len = 0; //一开始为空集for(int i = 1; i <= n; i++) {int l = 0, r = len;if(st[b[i]] > f[len]) f[++len] = st[b[i]];else {while(l < r) {int mid = l + r >> 1;if(f[mid] > st[b[i]]) //找第一个大于st[b[i]]的下标r = mid;else l = mid + 1;}f[l] = min(f[l],st[b[i]]); //两者当中取较小的 }}printf("%d",len);return 0;
}
