算法与数据结构——二分查找

二分查找

二分查找（binary search）是一种基于分治策略的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮缩小一半搜索范围，直至找到目标元素或搜索区间为空为止。

Qustion：
给定一个长度为n的数组nums，元素按从小到大的顺序排列且不重复。请查找并返回元素target在该数组中的索引。若数组不包含该元素，则返回 -1。

我们先初始化指针i = 0和j = n - 1，分别指向数组首元素和尾元素，代表搜索区间`[0, n-1]。（中括号表示闭区间，包含边界值。）

接下来，循环执行以下步骤：

• 计算索引m = ⌊(𝑖 + 𝑗)/2⌋，其中⌊ ⌋ 表示向下取整操作。
• 判断nums[m]和target的大小关系，分为以下三种情况。
  • 当nums[m] < target时，说明target在区间[m+1,j]中，因此执行 i=m+1 。
  • 当nums[m] > target时，说明target在区间[i,m-1]中，因此执行 j=m-1 。
  • 当nums[m] = target时，说明找到target，因此返回索引m。

若数组不包含目标元素，搜索区间最终会缩小为空，此时返回 -1 。

注意：由于i和j都是int类型，因此i+j可能会超出int类型的取值范围。为了避免大数越界，我们通常采用公式m = ⌊𝑖 + (𝑗 − 𝑖)/2⌋来计算中点。

/*二分查找*/
int binarySearch(vector<int> &nums, int target){// 初始化指向首和尾的标记int i = 0, j = nums.size() - 1, m;while (i <= j ){m = (i + (j - i) / 2);if (nums[m] < target) // 此情况说明target 在区间[m+1, j]中i = m + 1;else if (nums[m] > target)  // 此情况说明target 在区间[i, m-1]中j = m - 1;else		// 找到目标元素，返回其索引return m;}return -1;
}

时间复杂度为O(logn):在二分循环中，区间每轮被缩小一半，因此循环次数为log₂n。
空间复杂度为O(1)：指针i和j使用常数大小空间。

区间表示方法

除了上述闭区间外，常见的区间表示还有“左闭右开”区间，定义为 [0,n)。在该表示下，区间[i,j)在i=j时为空。

我们可以基于该表示实现具有相同功能的二分查找算法：

/*二分查找（左闭右开区间）[i, j) */
int binarySearchLCRO(vector<int> &nums, int target){// 初始化左闭右开区间 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素 +1int i = 0, j = nums.size(), m;while (i < j){m = i + (j - i) / 2;if (nums[m] < target)	// 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中i = m + 1;		else if (nums[m] > target)// 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中j = m;elsereturn m;}return -1;
}

在两种区间表示下，二分查找算法的初始化、循环条件和缩小区间操作皆有所不同。由于“双闭区间”表示中的左右边界都被定义为闭区间，因此通过指针i和指针j缩小区间的操作也是对称的，更不容易出错，因此一般建议采用“双闭区间”的写法。

优点与局限性

二分查找在时间和空间方面都有较好的性能。

• 二分查找的时间效率高。在大数据量下，对数阶的时间复杂度具有显著优势。
• 二分查找无需额外空间。相较于借助额外空间的搜索算法（如哈希查找），二分查找更加节省空间。

二分查找也并非适用于所有情况

• 二分查找仅适用于有序数据。若输入数据无序，为了使用二分查找而专门进行排序，得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为O(nlogn)，比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景，为保持数组有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为O(n)，也是非常昂贵的。
• 二分查找仅适用于数组。二分查找需要跳跃式（非连续地）访问元素，而在链表中执行跳跃式访问的效率较低，因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构中。
• 小数据量下，线性查找性能更佳。在线性查找中，每轮只需 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，当数据量 𝑛 较小时，线性查找反而比二分查找更快。