数论 工具 线性筛

由于做莫反题需要大量的基础函数知识，于是有了这篇文章将我做到的函数都记录下来。

持续施工中。

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约数和函数 \(\sigma\)

定义：\(\sigma(x)=\sum_{d|x} d\)。

证其为积性函数：

设 \(x=\prod p_i^{a_i}\)，设 \(d\) 为 \(x\) 的质因数个数，那么发现：

\[\begin{aligned}\sigma(x)&=\sum_{i_1=0}^{a_1}\sum_{i_2=0}^{a_2}\cdots\sum_{i_d=0}^{a_d} p_1^{i_1}p_2^{i_2}\cdots p_d^{i_d}\\&=\sum_{i_1=0}^{a_1} p_1^{i_1}\sum_{i_2=0}^{a_2}p_2^{i_2}\cdots \sum_{i_d=0}^{a_d}p_d^{i_d}\\&=\prod_{i=1}^d \sum_{j=0}^{a_i}p_i^j \end{aligned} \]

我们发现当 \(d=1\) 时，\(\sigma(x)=\sum_{i=0}^{a_1} p_1^i\)，即上述式子可以转化为：

\[\sigma(x)=\prod_{i=1}^d \sigma(p_i^{a_i}) \]

推广可得：

\[\sigma(a\times b)=\sigma(a)\sigma(b)\quad gcd(a,b)=1 \]

证毕。

接下来考虑如何线性筛。考虑我们当前的数 \(i\)，令其最小的质因子为 \(p\)。由积性函数可知，我们需要先使两个数 \(a,b\) 互质，再由 \(\sigma(a\times b)=\sigma(a)\sigma(b)\) 转移。那么我们若想从 \(\sigma(i)\) 转移至 \(\sigma(i\times p)\)，需要先将 \(i\) 中所有的质因子 \(p\) 除掉，转移式子即为 \(\sigma(i\times p)=\sigma(\frac{i}{p^{a_1}})\sigma(p^{a_1+1})\)。用 \(low_i\) 维护 \(\sigma(p^{a_1})\)，那么 \(low\) 的转移有 \(low_{i\times p}=low_{i}\times p+1\)，此时 \(\sigma\) 的转移有 \(\sigma(i\times p)=\frac{\sigma(i)}{low_i}\times low_{i\times p}\)。

实现中，当出现 \(i \mod p_j=0\) 的情况就用上述方法转移，否则 \(\sigma_{i\times p_j}\) 直接用积性函数性质求，\(low_{i\times p_j}\) 的值等于 \(\sigma(p_j)\)，因为如果此时 \(i\) 中有比 \(p_j\) 更小的质因子的话，早在前面就会被筛出来然后 break 掉。

因为 \(\sigma\) 跟 \(o\) 挺像，所以在代码中 \(o_i\) 表示 \(\sigma(i)\)。

int pri[N],tot,o[N],low[N];
bool vis[N];
void Wprepare()
{o[1]=1;for(int i=2;i<=N;i++){if(!vis[i]) pri[++tot]=i,o[i]=low[i]=i+1;for(int j=1;j<=tot;j++){if(i*pri[j]>N) break;vis[i*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0){low[i*pri[j]]=low[i]*pri[j]+1;o[i*pri[j]]=o[i]/low[i]*low[i*pri[j]];break;}low[i*pri[j]]=pri[j]+1;o[i*pri[j]]=o[i]*o[pri[j]];}}
}

例题是 [SDOI2014]数表，莫反部分不难，难点在理解如何筛约数和以及动态维护某个函数前缀和，练习 \(\sigma\) 函数的好题。