高等数学 2.1 导数概念

news/2024/9/18 10:00:43/文章来源:https://www.cnblogs.com/mowenpan1995/p/18413463/gdsx2-1daoshugainian

一、导数的定义
- 函数在一点处的导数与导函数
- 单侧导数
二、导数的几何意义
三、函数可导性与连续性的关系

一、导数的定义

函数在一点处的导数与导函数

定义设函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某个邻域内有定义，当自变量 \(x\) 在 \(x_0\) 处取得增量 \(\Delta x\) （点 \(x_0 + \Delta x\) 仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量 \(\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)\) ；如果 \(\Delta y\) 与 \(\Delta x\) 之比当 \(\Delta \to 0\) 时的极限存在，那么称函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可导，并称这个极限为函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的导数，记为 \(f'(x_0)\) ，即

\[f'(x_0) = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} , \tag{1} \]
也可记作 \(\left . y' \right|_ {x = x_0}\) ，\(\left . \cfrac{\mathrm d y}{\mathrm d x} \right|_ {x = x_0}\) ，\(\left . \cfrac{\mathrm d f(x)}{\mathrm d x} \right|_{x \to x_0}\) .

函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可导有时也说成 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处具有导数或导数存在。

导数的定义式（1）也可以取不同的形式，常见的有

\[f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \cfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \tag{2} \]

和

\[f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \cfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \tag{3} \]

如果极限（1）不存在就说函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 处不可导。如果不可导的原因是由于 \(\Delta x \to 0\) 时，比式 \(\cfrac{\Delta y}{\Delta x} \to \infty\) ，为了方便起见，也往往说函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的导数为无穷大。

上面讲的是函数在一点处可导。如果函数 \(y = f(x)\) 在开区间 \(I\) 内每点处都可导，那么就称函数 \(y = f(x)\) 在开区间 \(I\) 内可导。这时，对于任一 \(x \in I\) ，都对应着 \(f(x)\) 的一个确定的导数值。这样就构成了一个新的函数，这个函数就叫做原来函数 \(y = f(x)\) 的导函数，记作 \(y'\) ，\(f'(x)\) ，\(\cfrac{\mathrm d y}{\mathrm d x}\) ，\(\cfrac{\mathrm d f(x)}{\mathrm d x}\) 。

在（1）式或（2）式中把 \(x_0\) 换成 \(x\) ，即得导函数的定义式：

\[y' = \lim_{\Delta x \to 0} \cfrac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \]

或

\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \cfrac{f(x + h) - f(x)}{h} . \]

注意：在以上两式中，虽然 \(x\) 可以取区间 \(I\) 内的任何数值，但在极限过程中，\(x\) 是常量，\(\Delta x\) 或 \(h\) 是变量。

函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的导数 \(f'(x_0)\) 就是导函数 \(f'(x)\) 在点 \(x = x_0\) 处的函数值，即

\[f'(x_0) = \left . f'(x) \right|_{x = x_0} . \]

导函数 \(f'(x)\) 简称导数，而 \(f'(x_0)\) 是 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的导数或导数 \(f'(x)\) 在点 \(x_0\) 处的值。

单侧导数

根据函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的导数 \(f'(x_0)\) 的定义，导数

\[f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \cfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \]

是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此 \(f-(x_0)\) 存在即 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可导的充分必要条件是左、右极限

\[\lim_{h \to 0^-} \cfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \quad 及 \quad \lim_{h \to 0^+} \cfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \]

都存在且相等。这两个极限分别称为函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的左导数和右导数，记作 \(f'_- (x_0)\) 及 \(f'_+(x_0)\) ，即

\[f'_-(x_0) = \lim_{h \to 0^-} \cfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} , \\ f'_-(x_0) = \lim_{h \to 0^+} \cfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} . \]

现在可以说，函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可导的充分必要条件是左导数 \(f'_- (x_0)\) 及右导数 \(f'_+(x_0)\) 都存在且相等。

左导数和右导数统称为单侧导数。

如果函数 \(f(x)\) 在开区间 \((a, b)\) 内可导，且 \(f'_+(a)\) 及 \(f'_-(b)\) 都存在，那么就说 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上可导。

二、导数的几何意义

函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的导数 \(f'(x_0)\) 在几何上表示曲线 \(y = f(x)\) 在点 \(M(x_0, f(x_0))\) 处的切线的斜率，即

\[f'(x_0) = \tan \alpha \]

其中 \(\alpha\) 是切线的倾角。

如果 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的导数为无穷大，那么这时曲线 \(y = f(x)\) 的割线以垂直于 \(x\) 轴的直线 \(x = x_0\) 为极限位置，即曲线 \(y = f(x)\) 在点 \(M(x_0, f(x_0))\) 处具有垂直于 \(x\) 轴的切线 \(x = x_0\) .

根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程，可知曲线 \(y = f(x)\) 在点 \(M(x_0, y_0)\) 处的切线方程为

\[y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \]

过切点 \(M(x_0, f(x_0))\) 且与切线垂直的直线叫做曲线 \(y = f(x)\) 在点 \(M\) 处的法线。如果 \(f'(x_0) \neq 0\) ，法线的斜率为 \(- \cfrac{1}{f'(x_0)}\) ，从而法线方程为

\[y - y_0 = - \cfrac{1}{f'(x_0)} (x - x_0) \]

例求等边双曲线 \(y = \cfrac{1}{x}\) 在点 \(\left( \cfrac{1}{2}, 2 \right)\) 处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。
解：根据导数的几何意义知道，所求切线斜率为

\[k_1 = \left . y' \right|_{x = \frac{1}{2}} \]

由于 \(y' = \left( \cfrac{1}{x} \right)' = - \cfrac{1}{x^2}\) ，于是

\[k_1 = \left . - \cfrac{1}{x^2} \right|_{x = \frac{1}{2}} = -4 \]

从而所求切线方程为

\[y - 2 = -4 \left( x - \cfrac{1}{2} \right) , 即 4 x + y - 4 = 0 \]

所求法线斜率为

\[k_2 = - \cfrac{1}{k_1} = \cfrac{1}{4} \]