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高数

第二型曲线积分计算

类对称（看微元方向）

一投二代三计算

格林公式

• 曲线封闭无奇点
• 曲线封闭有奇点
• 非封闭曲线，二维旋度为0，换路径
• 非封闭曲线，旋度不为0，添线使之封闭（加线减线）
• 积分与路径无关的六个等价命题

两类曲线积分关系（二型与一型）

Pdx+Qdy+Rdz=（P,Q,R）*(cosα,cosβ,cosγ)ds

注意单位切向量的求解；起点参数a小于终点参数b时，取正；反之取负；

空间问题

• 一投二代三计算
• 斯托克斯[注意斯托克斯对于二型一型的形式，其中对于一型，（cosα,cosβ,cosγ）为Σ的单位外法线向量]
• rot F = 0（无旋场），换路径

第二型曲面积分计算

类对称（流入为负流出为正）

一投二代三计算

转换投影法（三面投一面），此时要考虑单位向量方向

高斯公式

• 封闭曲面无奇点，直接用
• 封闭曲面、有奇点在其内部，且除奇点外div F = 0,可换个面积分（边界无须和原曲面重合）
• 非封闭，且div F = 0,可换个面积分，但是边界需与原曲面重合
• 非封闭，且 div F ≠ 0，补面使其封闭（加面减面）
• 由div F = 0,建方程求f(x)

两类曲面积分关系

(P,Q,R)(dydz,dzdx,dxdy)=(P,Q,R)(cosα,cosβ,cosγ)dS,其中(cosα,cosβ,cosγ)为Σ在点（x，y，z）同侧的单位法向量

一些其他：换元时要记得算雅各比行列式的绝对值