题意
给定一个序列,选中一些元素使得任意连续 \(m\) 个元素中都有至少两个元素被选中。求满足条件的最小的被选中元素的和
sol
很容易想到定义 \(f_{i,j,k}\) 为前 \(i\) 个元素选择第 \(j\) 个和第 \(k\) 个的最小和,但是这样时间和空间都无法接受。
考虑删掉第一维,使用 \(f_{i,j}\) 表示选择第 \(i\) 个和第 \(j\) 个的最小和。容易转移得到
\[f_{i,j} = cost_i + \min_{k=i-m}^{j-1} f_{j, k}
\]
时间复杂度为 \(O(nm^2)\),进行优化:
展开 \(\min_{k=i-m}^{j-1} f_{j, k}\),得到 \(\min\{f_{j, i - m},f_{j,i-m+1},\cdots,f_{j,j-1}\}\),因此,\(f_{i,j}\) 只比 \(f_{i+1,j}\) 多比较了 \(f_{j,i-m}\),时间复杂度减至 \(O(nm)\)
空间上,只需滚动数组即可,复杂度 \(O(n+m^2)\)
代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>using namespace std;const int N = 1005, M = 105;int f[M][M];
int n, m;
int g[N];int main(){scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &g[i]);int mod = m + 1;memset(f, 0x3f, sizeof f);f[1][0] = g[1];for (int i = 1; i <= m; i ++ )for(int j = 1; j < i; j ++ ) f[i][j] = g[i] + g[j];for (int j = 1; j <= n; j ++ ){int minn = 0x3f3f3f3f;for (int i = j + m - 1; i > j; i -- ) {if (i > m){minn = min(minn, f[j % mod][(i - m) % mod]);f[i % mod][j % mod] = minn + g[i];}}}int ans = 0x3f3f3f3f;for (int i = n; i >= n - m + 1; i -- )for (int j = i - 1; j >= n - m + 1; j -- )ans = min(ans, f[i % mod][j % mod]);printf("%d\n", ans);return 0;
}