Hidden Bipartite Graph
题意
交互题。有一个 \(n \le 600\) 的图，你可以询问至多 \(20000\) 次。每次问一个点集 \(S\)，返回满足两个端点都在 \(S\) 中的边的个数。你需要判断这个图是不是二分图，如果是，则分别输出左部和右部的点，否则按顺序输出任意一个奇环。
思路
先判断二分图。一个十分巧妙的方法是，先找出一棵生成树，然后染色，然后再拓展判断是否是二分图。这样做是因为生成树是好找的（图保证连通），而且树是特别的二分图。
现在我们任意找出一棵生成树。我们发现判断一个点 \(x\) 和一个点集 \(S\) 有没有连边是容易的，只需要先问 \(S+x\)，然后再问 \(S\)，然后相减。
设已经连通的点集为 \(T\)，剩余点集为 \(S\)。初始 \(T=\{1\},S=2 \sim n\)。
找树边的时候我们逮住 \(T\) 的一个点 \(x\)，然后二分的方式找出和它相连的所有点，并把这些点加入 \(T\)，然后 \(x\) 的使命就结束了了，可以把它从 \(T\) 删除，因为它无法再用来更新边了。
这样每个点加入生成树最多要 \(2 \log n\) 次询问，一共 \(2n \log n\) 左右，大概 \(10800\)。
然后我们就找到了一棵生成树。然后给这棵树黑白染色，就是奇数层染黑色，偶数层染白色。然后黑、白两个点集分别查询一下内部是否有边，如果没有，那么这两个点集就是二分图的左右部，否则不存在二分图。
如果不存在二分图，我们还需要找一个奇环。只要生成树上奇数层和奇数层或者偶数层和偶数层有连边，就行成了一个奇环。环包括书上路径和非树边的那一条边。因此我们对于每个奇数层的点（当然偶数层也同理可以），采用同样的方式二分所有奇数层的点（除去它自己），先判断一下有没有连边，如果有就找到一个和它有连边的点。一共大概 \(2n+2 \log n\) 次询问。完全足够。
code
#include<bits/stdc++.h>
//#define LOCAL
#define sf scanf
#define pf printf
#define rep(x,y,z) for(int x=y;x<=z;x++)
#define per(x,y,z) for(int x=y;x>=z;x--)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1000;
int n;
vector<int> res;
int st[N],top;
int m;
int dep[N],fa[N];
vector<int> to[N];
int write(vector<int> &vec,int l,int r) {if(r-l+1<2) return 0;cout<<"? "<<r-l+1<<endl;rep(i,l,r) cout<<vec[i]<<' ';cout<<endl;cin>>m;return m;
}
int write(vector<int> &vec,int l,int r,int y) {if(r-l+1<=0) return 0;cout<<"? "<<r-l+1+1<<endl;rep(i,l,r) cout<<vec[i]<<' ';cout<<y<<endl;cin>>m;return m;
}
int write(int x,int y) {cout<<"? 2"<<endl;cout<<x<<' '<<y<<endl;cin>>m;return m;
}
vector<int> del;
void solve(int u,int l,int r) {if(l==r) {int m=write(u,res[l]);if(m) del.push_back(l),st[++top]=res[l],to[u].push_back(res[l]),to[res[l]].push_back(u);return;}int m=write(res,l,r,u)-write(res,l,r);if(!m) return;int mid=(l+r)>>1;solve(u,l,mid);solve(u,mid+1,r);
}
vector<int> lb,rb;
int col[N];
void dfs(int u) {if(col[u]==1) lb.push_back(u);else rb.push_back(u);for(int v:to[u]) {if(col[v]) continue;dep[v]=dep[u]+1;fa[v]=u;col[v]=col[u]==1?2:1;dfs(v);}
}
bool check() {if(lb.size()>=2) {cout<<"? "<<lb.size()<<endl;for(int u:lb) cout<<u<<' ';cout<<endl;cin>>m;if(m) return 0;}if(rb.size()>=2) {cout<<"? "<<rb.size()<<endl;for(int u:rb) cout<<u<<' ';cout<<endl;cin>>m;if(m) return 0;}return 1;
}
bool check(vector<int> &vec,int u) {return write(vec,0,vec.size()-1,u)-write(vec,0,vec.size()-1);
}
bool check(int u,vector<int> &vec,int l,int r) {return write(vec,l,r,u)-write(vec,l,r);
}
int find(int u,vector<int> &vec,int l,int r) {if(l==r) return vec[l];int mid=(l+r)>>1;if(check(u,vec,l,mid)) return find(u,vec,l,mid);else return find(u,vec,mid+1,r);
}
int main(){#ifdef LOCALfreopen("in.txt","r",stdin);
// freopen("my.out","w",stdout);#endifcin>>n;rep(i,2,n) res.push_back(i);st[++top]=1;while(!res.empty()) {int u=st[top--];solve(u,0,(int)res.size()-1);vector<int> tmp;sort(del.begin(),del.end());int op=0;rep(i,0,(int)res.size()-1) {if(op<(int)del.size()&&i==del[op]) op++;else tmp.push_back(res[i]);}del.clear();res=tmp;}col[1]=1;dep[1]=1;dfs(1);if(check()) {sort(lb.begin(),lb.end());int k=unique(lb.begin(),lb.end())-lb.begin();cout<<"Y "<<k<<endl;for(int j=0;j<k;j++) cout<<lb[j]<<' ';cout<<endl;}else{rep(i,0,(int)lb.size()-1) {vector<int> tmp;rep(j,0,i-1) tmp.push_back(lb[j]);rep(j,i+1,(int)lb.size()-1) tmp.push_back(lb[j]);if(check(tmp,lb[i])) {int x=find(lb[i],tmp,0,tmp.size()-1);vector<int> lp,lp2;int y=lb[i];if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);while(dep[x]>dep[y]) {lp.push_back(x);x=fa[x];}while(x!=y) {lp.push_back(x),lp2.push_back(y);x=fa[x],y=fa[y];}lp.push_back(x);cout<<"N "<<lp.size()+lp2.size()<<endl;for(int u:lp) cout<<u<<' ';for(int k=lp2.size()-1;k>=0;k--) cout<<lp2[k]<<' ';cout<<endl;return 0;}}rep(i,0,(int)rb.size()-1) {vector<int> tmp;rep(j,0,i-1) tmp.push_back(rb[j]);rep(j,i+1,(int)rb.size()-1) tmp.push_back(rb[j]);if(check(tmp,rb[i])) {int x=find(rb[i],tmp,0,tmp.size()-1);vector<int> lp,lp2;int y=rb[i];if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);while(dep[x]>dep[y]) {lp.push_back(x);x=fa[x];}while(x!=y) {lp.push_back(x),lp2.push_back(y);x=fa[x],y=fa[y];}lp.push_back(x);cout<<"N "<<lp.size()+lp2.size()<<endl;for(int u:lp) cout<<u<<' ';for(int k=lp2.size()-1;k>=0;k--) cout<<lp2[k]<<' ';cout<<endl;return 0;}}}
}
