什么是图灵完备？手把手教你证明brainfuck的图灵完备性

Intro

上篇文章中对图灵机的讨论是错误的，因为那篇文章中试图去使用一个具体的机器去指代图灵机，这会造成极大的误解。
本文将会解决这些问题。

Tips:发现错漏请指出，我尽力修改( ;´д`)

图灵机

图灵机的形式化定义如下

图灵机是一个七元组(\(Q,\Sigma,\Gamma,\delta,q_0,q_{accept},q_{reject}\))其中\(Q,\Sigma,\Gamma\)都是有穷集合。

1. \(Q\)是状态集
2. \(\Sigma\)是输入字母表，不包括空白符号\(\sqcup\)
3. \(\Gamma\)是带字母表，其中\(\sqcup \in \Gamma,\Sigma \subseteq\Gamma\)
4. \(\delta : Q \times \Gamma \to Q \times \Gamma \times \{L,R\}\)是转移函数
5. \(q_0 \in Q\)是起始状态
6. \(q_{accept} \in Q\)是接收状态
7. \(q_{reject} \in Q\)是拒接状态，并且\(q_{rejecct}\not ={q_{accept}}\)

图灵机\(M\)的工作方式如下：

1. \(M\)接收方格带上的输入\(w = w_1w_2...w_n \in \Sigma^*\)，方格带上除去\(w\)其余保持空白（填入空白符号）。
2. \(M\)开始运行，按转移函数所描述的规则运行。如果读写头在最左端试图左移，则读写头不动，其他照常运行。
3. 不断运行直到\(M\)进入接收状态或者拒绝状态。
4. 如果最终\(M\)无法进入这两种状态，则M将永远运行下去，不会停机。

图灵机可以形式化描述，图灵机的计算过程自然也能形式化描述。这需要引入一个新的概念——格局。

图灵机计算过程中，将当前状态、当前带内容与读写头位置组合在一起，称为图灵机的格局。
格局常以特殊的方法表示，对于状态\(q\)与当前带上被读写头分割的两个字符串\(u\)和\(v\)，以\(uqv\)表示如下格局：
当前状态是\(q\)，当前带内容是\(uv\)，读写头当前的位置是\(v\)的第一个附后，带上\(v\)的最后一个符号之后的符号都是空白符。

如果图灵机能从格局\(C_1\)一步进入\(C_2\)，则称格局\(C_1\)产生格局\(C_2\)
于是，对图灵机计算进行形式化描述即为：

设\(a,b,c\)均为\(\Gamma\)中的符号，\(u\)和\(v\)是\(\Gamma^*\)中的字符串，\(q_i\)和\(q_j\)是状态，则\(uaq_ibv\)和\(uq_jacv\)是两个格局，如果转移函数满足\(\delta(q_i,b)=(q_j,c,L)\)则说：
\(uaq_ibv\)产生\(uq_jacv\)
上面是左移的情形，下面是右移的情形：
如果\(\delta(q_i,b)=(q_j,c,R)\)，则说
\(uaq_ibv\)产生\(uacq_iv\)
当读写头处于左端点或者右端点时，这个情形会发生变化，
左端点下，左移是 \(q_ibv\)产生\(q_jcv\)，右移是 \(q_ibv\)产生\(cq_jv\)
右端点下，\(uaq_i\)等价于\(uaq_i\sqcup\)，这是由于假设了带子上没有描述的位置都是空白符，这样就只需要正常处理就行了。

M在输入\(w\)上的起始格局是\(q_0w\)，表示机器处在起始状态，且读写头在最左端。
处在接受状态的格局是接受格局；处在拒绝状态的格局是拒绝格局。
接受与拒绝状态都是停机状态，它们不产生新的格局。

于是我们形式化了图灵机的工作方式。
此时一个确定的输入\(w\)存在着一个确定的格局序列\(C_1,C_2,C_3...C_k\)。
如果格局序列满足：

1. \(C_1\)是\(M\)在输入\(w\)上的起始格局。
2. 每一个\(C_i\)产生\(C_{i+1}\)。
3. \(C_k\)是接受格局。

我们就认为M接受输入\(w\)。
\(M\)接受的字符串的集合称为M的语言，记作\(L(M)\)

如果一个语言能被某一图灵机识别，则称该语言是图灵可识别的

我们可以很自然的想到，当图灵机接收一个输入，最终只会处在三种状态：接受、拒绝、不停机。

于是，现在我们有了一个较为准确的对图灵机的描述。

图灵完备

众所周知，想要证明一个系统是图灵完备的，就需要使得它能模拟图灵机的所有行为。

本部分思路来自Frans Faase；发现未知宏可参考Alva L. Couch的文章

brainfuck

依据前面的内容我们不难发现，一台确定的图灵机\(M\)在接收一个确定的输入\(w\)时，会产生一个确定的格局序列\(C_1,C_2,C_3...C_k\)

也就是说，图灵机的运行，可以写成一长串的格局序列。这意味着，只要能找到一个方法，让brainfuck正确的表示出这一串格局序列，就能用brainfuck模拟图灵机。

所以，我们需要找到一个办法，来让brainfuck可以描述出每一个格局。并实现格局到下一个格局的产生。

由前面的内容我们可以知道，一个格局记录3种信息：当前状态、读写头位置、当前带内容。

想用brainfuck来表达这些信息，先要做一些简单的准备工作。
我们知道一台图灵机\(M=(Q,\Sigma,\Gamma,\delta,q_0,q_{accept},q_{reject})\)。不难看出，一种图灵机仅有两种符号——\(状态 \in Q\)和\(符号 \in \Gamma\)

1. 先映射\(\Gamma\)到自然数\(0\) ~ \(n-1\)，\(n\)为符号数。特别的，先将空白符\(\sqcup\)映射到\(0\)，记作\(\sqcup \to 0\)。
2. 再映射\(Q\)到自然数\(0\) ~ \(m-1\)，\(m\)为状态数。特别的，\(q_0 \to 0;q_{accept} \to 1;q_{reject} \to 2;\)。

这样，我们就能用数字来表达图灵机的全部符号了。
于是乎，我们可以开始用brainfuck来表示格局了。
当前带内容可以是是无限的，但是没关系，brainfuck能操作的数组也是无限长的。但很快我们就发现了，brainfuck的指针并不能储存状态。我们将不得不将一些额外的信息储存在数组上，并且，brainfuck想要对数据进行操作，几乎不可避免地需要一些额外的空间，但brainfuck只有一个数组。好在它是无限长的，就如希尔伯特所提出的无限旅馆问题那样，我们的这个数组完全足够。

我们规定数组的一第个位置用于储存状态，第二个位置用于储存读写头位置，第三个位置用来储存读写头当前指向的字符，第四个位置用来作为新状态的临时储存，第五个位置用来做新的读写头位置的临时储存，第六个位置用来做新字符的临时储存。
并且，由于brainfuck对数据的操作需要一些额外的空间，所以我们额外分配五个位置做临时存储位置。
后续的数组便用来存储当前带上的字符串。
所以，我们的数组是这样的

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	...
state	head	cursymbol	newstate	newhead	newsymbol	t1	t2	t3	t4	t5	tape0	...

我们规定数组前面的部分（0~10）为操作区，后续部分为纸带区。

brainfuck宏

brainfuck的可读性并不好，所以我们需要一些宏，用来提高可读性。

# 首先我们需要一个用来寻址的宏to()，它将展开成多个`<>`，能精确地移动到正确的位置。
# 并且我们规定这个宏只能用在操作区与纸带的第一个位置tape0之间的移动。# 用to()给循环指定判断位置[]
for(x) = to(X)[;
next(x) = to(X)-];# 用to()精确操作数
dec(x) = to(x)-;
inc(x) = to(x)+;# 将s上的数字移动到d。 
move(s,d) = to(s) [ to(d) + to(s) - ];# 如何拷贝呢？移动不只可以执行一次。
move2(s,d1,d2)= {for(s)to(d1) +to(d2) +next(s)}copy(s,d,t) = move2(s,d,t) move(t,s);# [条件判断是brainfuck唯一的条件判断，我们需要让它变得更加好用一点。# 首先我们需要一个可以在任意位置写入0的宏。
zero(a) = to(a) [-];# 于是现在有条件判断了。
if(a) = to(a) [;
endif(a) = zero(a) ];ifelse(a,t) = inc(t) if(a) dec(t);
else(a,t) = endif(a) if(t);
endelse(t) = endif(t);# 由于[是一个零跳转，所以我们很自然的认为0是False，而其余的数则是True，于是可以有逻辑运算
# 值得注意的是，三种逻辑操作都会使得原操作数被清零。s是被操作的数，d是结果输出的位置。
or(s1,s2,d) = move(s1,d) move(s2,d);
and(s1,s2,d) = if(s1) move(s2,d) endif(s1) zero(s2);
not(s,d) = inc(d) if(s) dec(d) endif(s);# 与常数比较
# 与零比较，其实就是进行not()操作，至于其他的数？1-1=0,2-1=1...
isZero(s,d) = not(s,d);
isOne(s,d) = if(s) dec(s) isZero(s,d) endif(s);
isTwo(s,d) = if(s) dec(s) isOne(s,d) endif(s);
isThree(s,d) = if(s) dec(s) isTwo(s,d) endif(s);
....# 图灵机运行就是不断产生新格局的过程，所以我们还需要另一个循环——while
while(X) = to(X)[;
wend(X)  = to(X)];# 接下来要处理读写头的读写操作，我们需要新的移动宏，用来移动到纸带上。
# 这是两个特殊的宏，它只有在输入被确定后才替换。
# {(*head)*>}意思是写入head位置储存的值相等数量的'>'，后面的同理
totape() = to(tape0){(*head)*>};
back() = {(*head)*<}# 获取/写入字符
# 其实这是一个改写过的copy()，将纸带上对应的符号复制到操作区里。
getsymbol(x,t1) ={totape()[back()to(d1) +back()to(d2) +totape()-]back()to(t1) [ totape() + back()to(t1) - ]
}setsymbol(x) ={totape()[-]back()to(x) [ totape() + back()to(x) - ]
}
;

brainfuck is Turing complete

将指针位置存放在操作区，仅在读写纸带时前往纸带区。

依据上面所给的规定，我们来处理程序的主体部分。
它做了5件事：

1. 判断是否停机
2. 读取字符
3. 按照转移函数产生一个新格局
4. 写入更改
5. 循环回到开头

IsOne(state,t1)
IsTwo(state,t2)
and(t1,t2,t3)
not(t3,t1)
while(t1)getsymbol(cursymbol,t1)/***map***/setsymbol(newsymbol)zero(cursymbol)
zero(head) move(newhead,head,t1)
zero(state) move(newstate,state,t1)IsOne(state,t1)
IsTwo(state,t2)
and(t1,t2,t3)
not(t3,t1)
wend(t1)

接下来我们需要给每一个\(\delta\)定义一个映射函数
我们定义一个映射模板map。它在接受输入后，与自身规则做比较，如果不匹配，则什么都不做。
map用到了十一个参数，其中的astate,asymbol,anewstate,anewsymbol,movement,是根据相应的\(\delta\)填入的。我们需要给每一条转移函数映射一个相应的map，之后，我们只要将所有的map插进循环里，就能完成程序的主体部分了。

map(state,head,cursymbol,astate,asymbol,anewstate,anewsymbol,movement,newstate,newhead,newsymbol)
=
{
# 判断是否匹配了正确的转移函数，如果不是则直接退出。
copy(state,t1,t1)
write(t2,astate)
Equal(t1,t2,t3,t4,t5)
if(t3)copy(cursymbol,t1,t2)write(t2,asymbol)Equal(t1,t2,t3,t4,t5)if(t3)# 按规则写入新的符号、状态并进行移动。write(newstate,anewstate)write(newsymbol,anewymbol)copy(head,newhead,t1)ifelse(movement,t1)inc(newhead)else(movement,t1)dec(newhead)endelse(t1)endif(t3)
endif(t3)
}

这样，只要确定图灵机的种类与输入，我们就能将它翻译为一个brainfuck程序。
在完成运行后，只要打印出数组，就能得到这台机器运行的结果。
我们相信这个程序能翻译任何一台图灵机，并且模拟它的运行，因此可以说brainfuck是图灵完备的。

Reference

1. BF is Turing-complete-Frans Faase:https://www.iwriteiam.nl/Ha_bf_Turing.html
2. An introduction to programming in BF-Frans Faase:https://www.iwriteiam.nl/Ha_bf_intro.html
3. Bfmacro: a bf macro-interpreter-Alva L. Couch:http://www.cs.tufts.edu/~couch/bfmacro/bfmacro/
4. 《计算理论引导》-Michael Sipser -机械工业出版社