Description
给定一棵树。
至多进行一次操作：删去一条边，连接一条新边，保证操作完后仍是树。
问每个点在进行操作后是否可以成为树的重心。
Solution
性质\(1\)：若一个点不是树的重心，则它的必然有一个大小大于 \(\lfloor n/2\rfloor\) 的子树。
性质\(2\)：如果一个点合法，要么它本来就是重心，要么它只有一个子树大于 \(\lfloor n/2\rfloor\)，且从这个子树中移除一个最大的小于等于 \(\lfloor n/2\rfloor\) 的子树可以使它自己也小于等于 \(\lfloor n/2\rfloor\)。
考虑 树形dp，设 \(f(u)\) 表示以 \(u\) 为根的子树中，最大的不超过 \(\lfloor n/2\rfloor\) 的子树大小，初始先以 \(1\) 为总根，转移如下，
当 \(size_v\le \lfloor n/2\rfloor\) 时，\(f(u) = \max(f(u),size_v)\)，
否则 \(f(u) = \max(f(u),f(v))\)，
\(v\in son_u\)。
考虑如何处理子树外的答案，即换根，设 \(g(u)\) 表示不在以 \(u\) 为根的子树内的答案，
为了方便转移，我们需要更改一下状态 \(f\)，设 \(f(u,0/1)\) 分别表示最大答案和次大答案，转移和原来类似，然后还要记录一下每个点的最佳转移状态，就是它最终是由哪个点转移过来的，
\(g\) 的转移如下，
当 \(f(u,0)\) 的最佳转移是 \(v\) 时，
- 如果 \(n-size_u\le \lfloor n/2\rfloor\)，那么 \(g(v) = \max(g(u),n-size_u,f(u,1))\)，
- 否则 \(g(v) = \max(g(u),f(u,1))\)，
否则，
- 如果 \(n-size_u\le \lfloor n/2\rfloor\)，那么 \(g(v) = \max(g(u),n-size_u,f(u,0))\)，
- 否则 \(g(v) = \max(g(u),f(u,0))\)。
最终根据性质\(2\)，判断每个点是否合法即可。
Code
const int N = 4e5 + 5;int n;vector <int> e[N];int siz[N], f[N][2], mx[N]; // f(u) : 以 u 为根的子树内满足大小 <=n/2 的最大和次大子树大小 (整棵树以 1 为根)// mx(u) : 记录 f(u) 的最佳转移 v
int g[N];
bool ans[N];void dfsF(int u, int fa){siz[u] = 1;for(int v : e[u]){if(v == fa) continue;dfsF(v, u);siz[u] += siz[v];if(siz[v] <= n / 2){if(siz[v] > f[u][0]){ // 最大和次大不能从同一个子树转移！f[u][1] = f[u][0];f[u][0] = siz[v];mx[u] = v;}else if(siz[v] > f[u][1]) f[u][1] = siz[v];}else{if(f[v][0] > f[u][0]){f[u][1] = f[u][0];f[u][0] = f[v][0];mx[u] = v;}else if(f[v][0] > f[u][1]) f[u][1] = f[v][0];}}
}void dfsG(int u, int fa){for(int v : e[u]){if(v == fa) continue;if(mx[u] == v){if(n - siz[u] <= n / 2) g[v] = max(f[u][1], n - siz[u]);else g[v] = max(f[u][1], g[u]);}else{if(n - siz[u] <= n / 2) g[v] = max(f[u][0], n - siz[u]);else g[v] = max(f[u][0], g[u]);}dfsG(v, u);}
}void dfsAns(int u, int fa){int mx = n - siz[u];int cnt = 0, id = -1;if(mx > n / 2) id = fa, cnt++;for(int v : e[u]){if(v == fa) continue;if(siz[v] > n / 2){mx = siz[v];id = v;cnt++;}dfsAns(v, u);}if(cnt == 0) ans[u] = true;else if(cnt == 1 && id == fa && mx - g[u] <= n / 2) ans[u] = true;else if(cnt == 1 && id != fa && mx - f[id][0] <= n / 2) ans[u] = true;else ans[u] = false;
}void Solve(){cin >> n;int u, v;for(int i = 1; i <= n - 1; i++){cin >> u >> v;e[u].ps(v);e[v].ps(u);}dfsF(1, 0);dfsG(1, 0);dfsAns(1, 0);for(int i = 1; i <= n; i++) cout << ans[i] << ' ';
}
