抽象函数中图象变换的应用

一 问题引入

在高一学函数性质时，我们会遇到一些抽象函数的问题，先看两道例题：
【例1】已知函数\(f\left(2x+1\right)\)的定义域为\(\left[1,2\right]\)，则函数\(f\left(4x+1\right)\)的定义域是 .

【例2】已知函数\(f\left(x\right)\)的定义域为\(\mathrm{R}\)，且\(f\left(2x-1\right)\)的图象关于直线\(x=1\)对称，\(f\left(3x+2\right)\)是奇函数，则下列选项中值一定为\(0\)的是（ ）
A．\(f\left(\frac{7}{2}\right)\) B．\(f\left(2024\right)\) C．\(f\left(1\right)\) D．\(f\left(\frac{3}{2}\right)\)
以上两题中没告知函数解析式，我们可以利用函数图象变换的方法处理类似的问题.

二 图象变换

图象变换包括平移变换、伸缩变换、对称变换和翻转变换，我们只需了解前两种变换.
（等我们学了必修第一册第五章三角函数会有更好的理解）
回忆下，我们刚学一次函数\(y=kx+b(k\neq0)\)时，是如何知道图象是一直线的呢？
就是“列表—描点—连线”！

1 平移变换

我们知道平移变换口诀：左加右减，上加下减，
Eg1：\(y=f(x)\)向左平移\(1\)个单位，向下平移\(2\)个单位后的函数是\(y=f(x+1)-2\)；
Eg2：\(y=f(2x-4)\)向左平移\(1\)个单位后的函数是\(y=f[2(x+1)-4]=f(2x-2)\)；
为什么不是\(y=f(2x+1-4)=f(2x-3)\)？
用描点的方式了解下(不太严谨)，
角度1
假设\(y=f\left(2x-4\right)\)是\(y=2x-4\)，其图象向左平移\(1\)个单位后，如下图显然平移变换后的函数是\(y=2x-2\).

角度2
若点\((x_0,y_0)\)在\(y=f(2x-4)\)图象上，则\(y_0=f(2x_0-4)\)；而点\((x_0,y_0)\)经过平移变换“向左平移\(1\)个单位”后是\((x_0-1,y_0)\)，显然点\((x_0-1,y_0)\)在\(y=f(2x-2)\)图象上而不是\(y=f(2x-3)\).
简而言之，“左加右减”是对\(x\)进行加减，\(y=f[2(x+1)-4]\)中的小括号不能不要.

2 伸缩变换

\(y=f(x)\)的图象要伸缩变换：纵坐标\(y\)不变横坐标\(x\)扩大\(2\)倍，即\((x,y)\)会变成\((2x,y)\)，它的解析式会是什么？
用具体例子感受下，
\(y=x^2\)经过伸缩变换：纵坐标\(y\)不变横坐标\(x\)扩大\(2\)倍，点\(A(1,1)\)到点\(B(2,1)\)；
点\((x_0,y_0)\)在\(y=x^2\)图象上，则\(y_0={x_0}^2\)，变换后对应的点\((x_1,y_1)\)，有\(\left\{\begin{array}{l} x_1=2 x_0 \\ y_1=y_0 \end{array}\right.\)，
则\(\left\{\begin{array}{l} x_0=\dfrac{x_1}{2} \\ y_0=y_1 \end{array}\right.\)，所以\(y_1={\left(\frac{x_1}{2}\right)}^2=\frac{x_1^2}{4}\)，故变换后的函数解析式为\(y=\frac{x^2}{4}\).

若\(y=x^2\)经过伸缩变换：纵坐标\(y\)不变横坐标\(x\)缩小到原来的\(\frac{1}{2}\)，点\((1,1)\)到点\((2,1)\)；
变换后的函数解析式为\(y={(2x)}^2=4x^2\).

简而言之，将\(y=f(x)\)的图象上各点的横坐标伸长\((0<b<1)\)或缩短\((b>1)\)到原来的\(\frac{1}{b}\)倍，而纵坐标不变，得到函数\(y=f(bx)\)的图象.
若将\(y=f(x)\)的图象上各点的纵坐标伸长\((a>1)\)或缩短\((0<a<1)\)到原来的\(a\)倍，而横坐标不变，得到函数\(y=af(x)\)的图象.

三 图象变换的逆运用

我们知道了函数图象经过平移变换或伸缩变换后函数解析式的变换.
那函数\(y=f(2x-2)\)如何变换后变成函数\(y=f(x)\)呢？
方法1 先平移后伸缩
\(y=f(2x-2)=f[2(x-1)]\)向左平移\(1\)个单位得到\(y=f(2x)\)，再横坐标\(x\)扩大\(2\)倍得到\(y=f(x)\).
方法2 先伸缩后平移
\(y=f(2x-2)\)横坐标\(x\)扩大\(2\)倍得到\(y=f(x-2)\)，再向左平移\(2\)个单位得到\(y=f(x)\).

四 问题的解决

我们了解了以上两点，现在试试如何解决一开始提出的两个问题，
【例1】已知函数\(f\left(\frac{x}{2}+1\right)\)的定义域为\(\left[-1,2\right]\)，则函数\(f\left(2x+1\right)\)的定义域是 .
解 利用图象变换求解，
函数\(f\left(\frac{x}{2}+1\right)=f\left[\frac{1}{2}\left(x+2\right)\right]\)的定义域为\(\left[-1,2\right]\)
$\stackrel {向右平移2个单位}{\Longrightarrow} $$f\left(\frac{x}{2}\right)\(的定义域为\)[1,4]$
$\stackrel {横坐标缩小到原来的\frac{1}{4}}{\Longrightarrow} $$f\left(2x\right)\(的定义域为\)\left[\frac{1}{4},1\right]$
$\stackrel {向左平移\frac{1}{2}个单位}{\Longrightarrow} $$ f\left(2x\right)\(的定义域为\)\left[-\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right]$
故答案为\(\left[-\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right]\).

【例2】已知函数\(f\left(x\right)\)的定义域为\(\mathrm{R}\)，且\(f\left(2x-1\right)\)的图象关于直线\(x=1\)对称，\(f\left(3x+2\right)\)是奇函数，则下列选项中值一定为\(0\)的是（ ）
A．\(f\left(\frac{7}{2}\right)\) B．\(f\left(2024\right)\) C．\(f\left(1\right)\) D．\(f\left(\frac{3}{2}\right)\)
解 由的图象关于直线\(x=1\)对称
$\stackrel {向左平移\frac{1}{2}个单位}{\Longrightarrow} $$f\left(2x\right)\(的图象关于直线\)x=\frac{1}{2}\(对称 \)\stackrel {横坐标扩大2倍}{\Longrightarrow} $$ f\left(x\right)\(的图象关于直线\)x=1$对称

由\(f\left(3x+2\right)\)是奇函数，关于\((0,0)\)对称
$\stackrel {向右平移\frac{2}{3}个单位}{\Longrightarrow} $$f\left(3x\right)\(的图象关于\)\left(\frac{2}{3},0\right)\(对称 \)\stackrel {横坐标扩大3倍}{\Longrightarrow} $$f\left(x\right)\(的图象关于\)(2,0$)对称

则\(f\left(x\right)\)的图象关于直线\(x=1\)对称，且关于\((2,0)\)对称，
假设当\(0<x<1\)时，\(y=x\)，反复使用以上两点，结合图象可得函数\(f\left(x\right)\)周期为\(4\).

则\(f\left(2024\right)=f(0)=0\).

\(f\left(\frac{7}{2}\right)=f\left(-\frac{1}{2}\right)=-f\left(\frac{3}{2}\right)\)，\(f\left(1\right)\)都不确定是否为\(0\)．
故选：\(B\).

问题的另解
【例1】因为函数\(f\left(\frac{x}{2}+1\right)\)的定义域为\(\left[-1,2\right]\)，即\(x\in\left[-1,2\right]\)，所以\(\frac{x}{2}+1\in\left[\frac{1}{2},2\right]\)，
由\(\frac{1}{2}\le2x+1\le2\)解得\(-\frac{1}{4}\le x\le\frac{1}{2}\)，

所以函数\(f\left(4x+1\right)\)的定义域为\(\left[-\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right]\).

【例2】\(f\left(2x-1\right)\)的图象关于直线\(x=1\)对称，
则\(f\left(2x-1\right)=f\left(2(-x+2)-1\right)=f(-2x+3)\).
即\(f\left(2x-1\right)=f\left(2(-x+2)-1\right)=f(-(2x-1)+2)\)，
令\(t=2x-1\)，则\(f\left(t\right)=f(-t+2)\)，
则\(f\left(x\right)\)也关于\(x=1\)对称.
\(f\left(3x+2\right)\)是奇函数，
则\(f\left(3x+2\right)+f(-3x+2)=0\)，\(f\left(3x+2\right)+f(-(3x+2)+4)=0\)，
令\(t=3x+2\)，则\(f\left(t\right)+f(-t+4)=0\)，则\(f\left(x\right)\)也关于\((2,0)\)对称.
且令\(t=2\)，得\(f(2)=0\).
由前面知道\(f\left(t\right)=f(-t+2)=-f(-t+4)\)，且令\(t=0\)，则\(f(0)=f(2)=f(4)=0\).
且\(f(-t+2)=-f(-t+4)=-(-f(-t+6))=f(-t+6)\)，
令\(m=-t+2\)，则\(f(m)=f(m+4)\)，
故\(f\left(x\right)\)周期为\(4\).
则\(f\left(2024\right)=f(0)=0\).

\(f\left(\frac{7}{2}\right)=f\left(-\frac{1}{2}\right)=-f\left(\frac{3}{2}\right)\)，\(f\left(1\right)\)，都不确定是否为\(0\)．
故选：\(B\).

五 巩固练习

1. 已知函数\(f\left(2x-1\right)\)的定义域为\(\left(-1,9\right)\)，则函数\(f\left(3x+1\right)\)的定义域为（ ）
   A．\(\left(-\frac{1}{3},\frac{4}{3}\right)\) B．\(\left(-\frac{4}{3},\frac{16}{3}\right)\) C．\(\left(-\frac{2}{3},\frac{8}{3}\right)\) D．\(\left(-2,28\right)\)

2. 已知函数\(f\left(x\right)\)对任意的\(x\in R\)都有\(f\left(x+8\right)=-f\left(x\right)\)，若\(y=f\left(x+2\right)\)的图象关于点\(\left(-2,0\right)\)对称，且\(f\left(3\right)=3\)，则\(f\left(43\right)=\)（ ）
   A．\(0\) B．\(-3\) C．\(3\) D．\(4\)

3. 已知函数\(y=f\left(2x-1\right)\)的图象关于点\(\left(-1,1\right)\)对称，则下列函数是奇函数的是（ ）
   A．\(y=f\left(2x-2\right)+1\) B．\(y=f\left(2x-3\right)+1\)
   C．\(y=f\left(2x-2\right)-1\) D．\(y=f\left(2x-3\right)-1\)

4. 已知\(f\left(x-1\right)\)是定义域为\(R\)的奇函数，\(g\left(x\right)=f\left(2x+3\right)\)是定义域为R的偶函数，则（ ）
   A．\(g\left(2\right)=0\) B．\(g\left(3\right)=0\) C．\(f\left(3\right)=0\) D．\(f\left(5\right)=0\)

5. (多选)已知函数\(f(x)\)的定义域为\(\mathrm{R}\)，\(f(x+1)\)为奇函数，\(f(x+2)\)为偶函数，且\(x\in[0,1]\)时，\(f(x)\)单调递增，则下列结论正确的为（ ）
   A．\(f(x)\)是偶函数 B．\(f(x)\)的图象关于点\((-1,0)\)中心对称
   C．$f(2024)=0 $ D．\(f\left(\frac{5}{4}\right)+f\left(-\frac{1}{4}\right)<0\)

参考答案

1. 【详解】函数\(f\left(2x-1\right)\)的定义域为\(\left(-1,9\right)\)，
   $\stackrel {向左平移\frac{1}{2}个单位}{\Longrightarrow} \(函数\)f\left(2x\right)\(的定义域为\)\left(-\frac{3}{2},\frac{17}{2}\right)\(， \)\stackrel {横坐标缩小到原来的\frac{2}{3}倍}{\Longrightarrow} \(函数\)f\left(3x\right)\(的定义域为\)\left(-1,\frac{17}{3}\right)\(， \)\stackrel {向左平移\frac{1}{3}个单位}{\Longrightarrow} \(函数\)f\left(3x+1\right)\(的定义域为\)\left(-\frac{4}{3},\frac{16}{3}\right)\(. 故选：\)B$.
2. 【详解】由于\(y=f\left(x+2\right)\)的图象关于点\((-2，0)\)对称，
   故\(y=f\left(x\right)\)的图象关于点\((0，0)\)对称，即\(y=f\left(x\right)\)为奇函数，
   又\(f\left(x+8\right)=-f\left(x\right)\)，
   则\(f\left(x+16\right)=-f\left(x+8\right)=f\left(x\right)\)，即$16 \(为\)f\left(x\right)\(的周期， 令\)x=-3\(代入\)f\left(x+8\right)=-f\left(x\right)\(，则\)f\left(5\right)=-f\left(-3\right)=f\left(3\right)=3\(， 故\)f\left(43\right)=f\left(43-3\times16\right)=f\left(-5\right)=-f\left(5\right)=-3\(， 故选：\)B$
3. 【详解】函数\(y=f\left(2x-1\right)\)的图象关于点\(\left(-1,1\right)\)对称，
   所以函数\(y=f\left(2x-1\right)\)的图象向右平移\(1\)个单位，
   向下平移一个单位后函数的图象关于点\(\left(0,0\right)\)对称，
   即可得\(y=f\left[2\left(x-1\right)-1\right]-1=f\left(2x-3\right)-1\).
   故选：\(D\)
4. 【详解】因为\(f\left(x-1\right)\)是定义域为\(R\)的奇函数，
   所以函数\(f\left(x\right)\)关于点\(\left(-1,0\right)\)对称，且$f\left(-1\right)=0 $
   因为\(g\left(x\right)=f\left(2x+3\right)\)是定义域为\(R\)的偶函数，
   所以函数\(f\left(x\right)\)关于直线\(x=3\)对称，
   所以\(f\left(7\right)=0\)，即\(g\left(2\right)=0\).
   故选：\(A\)
5. 【详解】因为\(f(x+1)\)为奇函数，所以\(f(x)\)关于\((1,0)\)对称 ①，
   因为\(f(x+2)\)为偶函数，所以\(f(x)\)关于\(x=2\)对称 ②，
   \(x\in[0,1]\)时，\(f(x)\)单调递增，
   假设当\(0\le x\le1\)时，\(y=x-1\)，
   反复使用以上①②两点，
   结合图象可得函数周期为\(T=4\)，\(f(x)\)是偶函数，\(f(x)\)的图象关于点\((-1,0)\)中心对称，\(f(2024)=f(0)\)不一定为\(0\).
   
   故\(AB\)正确，\(C\)错误；
   因为\(f\left(\frac{5}{4}\right)+f\left(-\frac{1}{4}\right)=f\left(2-\frac{3}{4}\right)+f\left(\frac{1}{4}\right)\)\(=-f\left(-\frac{3}{4}\right)+f\left(\frac{1}{4}\right)=f\left(\frac{1}{4}\right)-f\left(\frac{3}{4}\right)\)，
   且\(x\in[0,1]\)时，\(f(x)\)单调递增，
   所以\(f\left(\frac{1}{4}\right)<f\left(\frac{3}{4}\right)\)，即\(f\left(\frac{1}{4}\right)-f\left(\frac{3}{4}\right)<0\)，
   故\(D\)正确.
   故选：\(ABD\).