线性回归是一种用于预测和建模的统计方法，旨在通过建立输入变量（特征）与输出变量（目标）之间的线性关系来进行分析。下面我们通过一个简单易懂的例子来说明线性回归的详细过程。
例子：预测房价
假设你是一名房地产经纪人，想要根据房子的面积（平方英尺）来预测房子的价格（美元）。
1. 收集数据
首先，收集一些房子的面积和对应的价格数据，如下表所示：
| 面积（平方英尺） | 价格（美元） |
|---|---|
| 800 | 150,000 |
| 1000 | 180,000 |
| 1200 | 210,000 |
| 1500 | 250,000 |
| 2000 | 300,000 |
2. 数据可视化
将数据绘制成散点图，横轴为面积，纵轴为价格。这样可以直观地看到随着面积增加，价格是否呈现线性关系。
3. 建立线性回归模型
线性回归模型的形式是：
其中：
- yy 是目标变量（房价）。
- xx 是自变量（面积）。
- β0 是截距（当面积为0时的房价）。
- β1 是斜率（每增加一个平方英尺，房价增加的金额）。
4. 模型训练
我们的目标是找到最佳的 β0β0 和 β1β1 值，使得实际房价与预测房价之间的差异最小。这通常通过最小二乘法实现，即最小化以下损失函数：
这里，nn 是数据点的数量，yiyi 是实际房价，xixi 是对应的房屋面积。
假设经过计算，我们得到了以下参数：
这个模型表示为：
5. 预测
现在我们可以用这个模型来预测房价。例如，如果一个房子的面积是1,300平方英尺，我们可以代入公式进行预测：
计算得：
因此，预测这个房子的价格大约为212,500美元。
6. 模型评估
为了评估模型的效果，我们可以使用R²值，即决定系数，来衡量模型对数据的拟合程度。R²值介于0和1之间，越接近1表示模型越能解释数据的变异。
7. 总结
线性回归是一种简单且有效的预测工具，通过建立自变量与因变量之间的线性关系，能够帮助我们进行预测。整个过程包括数据收集、模型建立、参数学习和预测等步骤。通过这个例子，我们可以看到线性回归如何在实用的场景中应用，帮助我们做出更好的决策。
