平面图形中建系 | 平面直角坐标系

前情概要

如果没有笛卡尔平面直角坐标系，那么涉及平面向量的问题只能用基向量的方法[形的角度]求解，不能用代数方法[数的角度]计算；同理如果没有空间直角坐标系的介入，立体几何中的问题也就只能从形的角度思考，而不能用代数方法[数的角度]来计算；所以建系的目的主要是想把有关形的问题，通过代数的方法计算解决；

本博文旨在总结立体几何中常见几何体的建系方法和类型，比如正四面体中、正三棱柱中、四棱锥等中的建系方法，坐标计算方法等，便于学习。而且我们应该知道，当建立的坐标系不同时，计算的难度是不一样的。

建系汇总

• 平面问题中若涉及平面向量的计算问题，常可以建立平面直角坐标系；

【2017河北武邑中学一模，文11】在 \(Rt\triangle ABC\) 中，\(CA=CB=3\)，\(M\)，\(N\) 是斜边 \(AB\) 上的两个动点，\(MN\) \(=\) \(\sqrt{2}\)，则 \(\overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{CN}\) 的取值范围是【】

$A.[2，\cfrac{5}{2}]$ $B.[2，4]$ $C.[3，6]$ $D.[4，6]$

分析：求向量的内积的取值范围，应该想到用内积的坐标运算，本题目难点是一般想不到主动建系，由形的运算转化为数的运算。

解：如图所示，以点\(C\)为坐标原点，分别以\(CB、CA\)所在的直线为\(x、y\)轴建立如同所示的坐标系，则 \(C(0，0)\)，\(A(0，3)\)，\(B(3 ，0)\)，设点\(N\)的横坐标为\(x\)，则由等腰直角三角形可知，点\(N\)的纵坐标为\(3-x\)，即点\(N(x，3-x)\)，

又由\(MN=\sqrt{2}\)，计算可知点\(M(x-1，4-x)\)，则\(\overrightarrow{CM}=(x-1，4-x)\)，\(\overrightarrow{CN}=(x，3-x)\)，

由于点\(M,N\)是动点，取两个极限位置研究\(x\)的取值范围，

当点\(M\)位于点\(A\)时，\(x\)取到最小值\(1\)，当点\(N\)位于点\(B\)时，\(x\)取到最大值\(3\)，即\(1\leq x\leq 3\)，

则\(\overrightarrow{CM}\cdot \overrightarrow{CN}=f(x)=(x-1，4-x)\cdot (x，3-x)\)

\(=x(x-1)+(4-x)(3-x)=2(x-2)^2+4\)，\(x\in [1，3]\)

当\(x=2\)时，\(f(x)_{min}=f(2)=4\)，当\(x=1\)或\(x=3\)时，\(f(x)_{max}=f(1)=f(3)=6\)，

即\(f(x)\in [4，6]\)。故选\(D\)。

【解后反思】对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，建立适当的平面直角坐标系，写出相应点的坐标即可求解。

【2019届高三理科数学三轮模拟试题】如图，已知两点\(A\)，\(B\)在单位圆上，\(\angle yOB=60^{\circ}\)，\(\angle xOA=30^{\circ}\)，则\(|2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}|\)=___________。

法1：向量法，由题目可知，\(\angle AOB=120^{\circ}\)，\(|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=1\)，

则\(|2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}|=\sqrt{|2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}|^2}\)

\(=\sqrt{4|\overrightarrow{OA}|^2+9|\overrightarrow{OB}|^2+2\times 2\times 3\times \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}}\)

\(=\sqrt{4+9+2\times 2\times 3\times 1\times 1\times (-\cfrac{1}{2})}=7\)，故\(|2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}|=\sqrt{7}\)。

法2：坐标法，已知\(A(\cfrac{\sqrt{3}}{2}，\cfrac{1}{2})\)，\(B(-\cfrac{\sqrt{3}}{2}，\cfrac{1}{2})\)，则\(\overrightarrow{OA}=(\cfrac{\sqrt{3}}{2}，\cfrac{1}{2})\)，

\(\overrightarrow{OB}=(-\cfrac{\sqrt{3}}{2}，\cfrac{1}{2})\)，则\(2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=(-\cfrac{\sqrt{3}}{2}，\cfrac{5}{2})\)，

故\(|2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}|=\sqrt{(-\cfrac{\sqrt{3}}{2})^2+(\cfrac{5}{2})^2}=\sqrt{7}\)。

法3：解三角形法，由向量的平行四边形法则可知，所求的模长即\(\triangle OCD\)中的边长\(|OC|\)，由已知\(|OD|=3|OB|=3\)，\(|CD|=2|OA|=2\)，\(\angle ODC=60^{\circ}\)，

由余弦定理可知\(|2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}|^2=|OC|^2=2^2+3^2-2\times2\times 3\times cos60^{\circ}=7\)，

故\(|2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}|=\sqrt{7}\)。

【2019届高三理科数学二轮用题】在矩形\(ABCD\)中，\(AB=2\)，\(AD=4\)，\(AC\)与\(BD\)相交于点\(O\)，过点\(A\)作\(AE\perp BD\)于\(E\)，则\(\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AC}\)=【】

$A.\cfrac{8}{5}$ $B.\cfrac{16}{5}$ $C.\cfrac{32}{5}$ $D.8$

法1：从形的角度思考，采用坐标法求解；以点\(A\)为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，

则可知\(A(0，0)\)，\(B(0，-2)\)，\(C(4，-2)\)，\(D(4，0)\)，设\(E(x，y)\)，

则由\(k_{AE}\cdot k_{BD}=-1\)，可得\(y=-2x\)①，又直线\(BD：2y=x-4\)②，

联立①②可得，\(x=\cfrac{4}{5}\)，\(y=-\cfrac{8}{5}\)，

则\(\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AC}=(\cfrac{4}{5}，-\cfrac{8}{5})\cdot (4，-2)=\cfrac{32}{5}\)，故选\(C\).

法2：本题目是否还可以用基向量法，以\(\overrightarrow{AB}\)和\(\overrightarrow{AD}\)为基向量来表示其他向量，待思考；

高阶延申

• 空间几何体中建系 | 空间直角坐标系 - 静雅斋数学 - 博客园