6. 二阶系统对初始状态的响应
当系统的输入 \(u(t)=0\) ,上式可以写成
\[\frac{\mathrm{d}z\left(t\right)}{\mathrm{d}t}=Az\left(t\right),\quad\text{其中}
\quad \mathbf{A}=\begin{bmatrix}0&1\\-\omega_\mathrm{n}^2&-2\zeta\omega_\mathrm{n}\end{bmatrix}
\]
求系统的平衡点，令$ \frac{dz(t)}{dt}=0$ 可得
\[\begin{cases}
0=z_{2\mathrm{f}}
\\0=-\omega_{\mathrm{n}}^{2}z_{1\mathrm{f}}-2\zeta\omega_{\mathrm{n}}z_{2\mathrm{f}}\\
\end{cases}\\\Rightarrow
\begin{cases}z_{1\mathrm{f}}=0\\
z_{2\mathrm{f}}=0\end{cases}
\]
分析平 衡点的 性质， 首先要 得到状 态矩阵 A 的 特征值 ,令$|A-\lambda I |=0 $ 得到
\[\begin{vmatrix}-\lambda&1\\-\omega_\mathrm{n}^2&-2\zeta\omega_\mathrm{n}-\lambda\end{vmatrix}=\lambda^2+2\zeta\omega_\mathrm{n}\lambda+\omega_\mathrm{n}^2=0
\]
求解 特征值 ，得到
\[\begin{cases}\lambda_1=- \zeta\omega_\mathrm{n}+\omega_\mathrm{n}\sqrt{\zeta^2-1}\\\lambda_2=- \zeta\omega_\mathrm{n}-\omega_\mathrm{n}\sqrt{\zeta^2-1}\end{cases}
\]
特 征值$\lambda $ 对 应了传递函数G(s) 的 极点。
分类讨论不同的参数对特征值 \(\lambda_1\) 和$ \lambda_2$ 的影响，及特征值如何影响系统的稳定。
情况1： \(\zeta \geq 1\)，
有 \(\zeta \geq \sqrt{ \zeta^2-1} \geq 0\)
\[\Rightarrow\begin{cases}\lambda_1= - \zeta\omega_n + \omega_n \sqrt{\zeta^2-1 } <0 \\
\lambda_2=- \zeta\omega_n - \omega_n \sqrt{\zeta^2-1 } <0\end{cases}
\]
特征值 \(\lambda_1\) 和 $ \lambda_2 $ 都为实数小于0
其中，当\(\zeta>1\)时的系统称为过阻尼系统(Overdamped System),当\(\zeta=1\)时的系统称为临界阻尼系统(Critically Damped System)。过阻尼和临界阻尼的区别在于它们的收敛速度不同，其中临界阻尼的系统收敛更快。
情况2 $ 0<\zeta <1$，
\[\sqrt{\xi^{2}-1}=\sqrt{1-\xi^{2}} \mathrm{j}\\\Rightarrow\begin{cases}\lambda_1=- \xi\omega_\mathrm{n}+\omega_\mathrm{n}\sqrt{1-\xi^2} \mathrm{j}\\\lambda_2=- \xi\omega_\mathrm{n}-\omega_\mathrm{n}\sqrt{1-\xi^2} \mathrm{j}\end{cases}
\]
特征值\(\lambda_1\) 和 \(\lambda_2\) 是两个复数，而且它们的实部都是一\(\zeta\omega_n<0\)。平衡点 \(z_\mathrm{f}=\) \([0,0]^{\mathrm{T}}\)是一个稳定的焦点，它的相轨迹如图所示。这是一个边振荡边衰减的系统，系统的状态变量将随着时间的增加而趋于平衡点。这也是我们日常生活中最常见的弹簧系统，无论它被压缩或者拉伸，当它从初始位置被释放后，就会不断地振动且振幅逐渐减小并最终停下来。这种系统称为欠阻尼系统(Underdamped System)。
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情况2 $ \zeta =0 $，
\[\begin{cases}\lambda_1=\omega_\mathrm{n}\mathrm{j}\\
\lambda_2=-\omega_\mathrm{n}\mathrm{j}\end{cases}
\]
状态矩阵的特征值是一对共轭纯虚数。平衡点\(z_\mathrm{f}=[0,0]^\mathrm{T}\)是一个中心点。其相轨迹会围绕着这个中心点做圆周运动，如图(c)所示。此时两个状态变量，即质量块的位移与速度会不断地振动，循环往复。从物理意义上来理解它，ζ=0 系统的阻尼为零。没有阻尼的时候系统的总能量就不会消耗，所以一旦对这个系统施加一个初始状态(给予其初始的能虽),它就会不断地振动下去。这种系统称为无阻尼系统(Undamped System)。
