组合数学与计数原理

组合数学与计数原理

date: 2024/10/29.

不同情况求组合数

求组合数的四种方法。

Lucas 定理

如果 \(p\) 是质数，则对于 \(\forall m, n \in \text{Z},1 \leq m \leq n\)，有：

\[\binom{n}{m}=\binom{m \bmod p}{n \bmod p}*\binom{m/p}{n/p} (\bmod p) \]

即把 \(n,m\) 表示为 \(p\) 进制数字，对其每一位分别计算组合数，最后乘起来。

Lucas 定理证明。

ll locas(int x, int y) {if (x < p && y < p)return get_c(x, y);elsereturn (get_c(x % p, y % p) * locas(x / p, y / p)) % p;
}

多重集的排列数

多重集是指包含重复元素的广义集合。设集合 \(S\) 是由 \(n_1\) 个 \(a_1\)，\(n_2\) 个 \(a_2\) ...... \(n_k\) 个 \(a_k\) 组成的多重集，记 \(n=\displaystyle\sum_{i=1}^k n_i\)。

\(S\) 的排列数为：

\[\frac{n!}{\displaystyle\prod_{i=1}^k{n_i!}} \]

多重集的组合数：

设集合 \(S\) 是由 \(n_1\) 个 \(a_1\)，\(n_2\) 个 \(a_2\) ...... \(n_k\) 个 \(a_k\) 组成的多重集，设 \(r \in \Z\)，\(r \leq \forall n_i\)。从 \(S\) 中取出 \(r\) 个元素组成一个多重集（不考虑元素顺序），产生的不同多重集数量为：

\[\binom{k+r+1}{k-1} \]

\(Proof:\)

即不定方程 \(a_1+a_2+...+a_k=r\)，\(\forall a_i \geq0\)，整数解的个数。

等号两侧同加 \(k\)，使式子变为 \(b_1+b_2+...+b_k=r\)，\(\forall b_i \geq1\)。

所以利用隔板法思想，答案为 \(\binom{k+r+1}{k-1}\)。

证毕.

对于更一般的 \(r\) 的情况，暂不讨论。

Catalan 数列

给定 \(n\) 个 \(0\) 与 \(n\) 个 \(1\)，它们按照某种顺序排成 \(len=2n\) 的序列，满足任意前缀中 \(0\) 的个数不少于 \(1\) 的个数的序列数量为：

\[Cat_n=\frac{\binom{2n}{n}}{n+1} \]

OI Wiki。

例题：

网格：

某城市的街道呈网格状，左下角坐标为 \(A(0,0)\)，右上角坐标为 \(B(n,m)\)，其中 \(n \ge m\)。

现在从 \(A(0,0)\) 点出发，只能沿着街道向正右方或者正上方行走，且不能经过图示中直线左上方的点，即任何途径的点 \((x,y)\) 都要满足 \(x \ge y\)，请问在这些前提下，到达 \(B(n,m)\) 有多少种走法。

解法： 求出 \((0,0)\) \(\rightarrow\) \((n, m)\) 的总方案数，为 \(\binom{n+m}{n}\)。

考虑到如果一条路径触碰到 \(y=x+1\) 直线，那么这条路径不合法。

把所有不合法路径，自触碰到 \(y=x+1\) 起，对于 \(y=x+1\) 对称。

那么可以发现所有不合法路径最终聚于一点，即为 \((n,m)\) 对于 \(y=x + 1\) 的对称点。记为点 \(P\)。

所以所有不合法路径数量为 \((0,0)\) \(\rightarrow\) \(P\) 的路径数量。

用总方案数减去不合法方案数即为答案。

化简组合数式子

关于古代猪文

将一个所有质因子指数为一的数字称为 \(square-free-number\)。

如果求组合数时模数不为质数，但是其为 \(square-free-number\)，那么可以针对其每一个质因子求组合数，最后用 \(CRT\)。

二项式定理

\[(a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n{\binom{n}{k}a^kb^{n-k}} \]

Proof。

百度百科。