简化题意，给一棵树，找出恰好 \(k+1\) 条链，是这些链之和最大。
有恰好选出的字眼，并且原问题显然具有凸性，直接考虑 wqs 二分。
然后每条链会减去二分的 \(mid\)，然后没有限制，求最大链和及链的数量，考虑树形 dp。
设 \(f_{x,0/1/2}\) 表示以 \(x\) 为根的子树，\(x\) 点入度为 \(0/1/2\) 所得的最大链值。
特别地，每次转移完 \(x\) 后令 \(f_{x,0}=\max(f_{x,0},f_{x,1}+mid,f_{x,2})\)，表示 \(x\) 不再和祖先进行链的合并，此时得到的最优解。
接下来就能转移了，设 \(y\) 是 \(x\) 的儿子，转移分三步：
\(f_{x,2}=\max(f_{x,2}+f_{y,0},f_{x,1}+f_{y,1}+w_{(x,y)}+mid)\)
\(f_{x,1}=\max(f_{x,1}+f_{y,0},f_{x,0}+f_{y,1}+w_{(x,y)})\)
\(f_{x,0}=\max(f_{x,0}+f_{y,0})\)
最后判断链数和 \(k\) 的大小关系，就做完了。
注意边权相等时，链数少的状态优先转移，因为维护的是上凸包。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rd read()
#define ll long long
#define FOR(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
#define ROF(i,j,k) for(int i=j;i>=k;i--)
int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();return x*f;
}
const int N=3e5+10;
const ll INF=1e12;
int n,k,head[N],tot;
struct node{int to,nxt,w;}edge[N<<1];
void add(int x,int y,int w){edge[++tot]={y,head[x],w};head[x]=tot;}
struct Node{ll val;int cnt;Node(ll x=0,int y=0):val(x),cnt(y){}friend bool operator<(Node a,Node b){return a.val!=b.val?a.val<b.val:a.cnt>b.cnt;}friend Node operator+(Node a,Node b){return Node{a.val+b.val,a.cnt+b.cnt};}friend Node operator+(Node a,ll v){return Node{a.val+v,a.cnt};}
}f[N][3],tmp;
void dfs(int x,int fa){f[x][0]=f[x][1]=f[x][2]=Node();f[x][2]=max(f[x][2],tmp);for(int i=head[x];i;i=edge[i].nxt){int y=edge[i].to;if(y==fa) continue;dfs(y,x);f[x][2]=max(f[x][2],max(f[x][2]+f[y][0],f[x][1]+f[y][1]+edge[i].w+tmp));f[x][1]=max(f[x][1],max(f[x][1]+f[y][0],f[x][0]+f[y][1]+edge[i].w));f[x][0]=max(f[x][0],f[x][0]+f[y][0]);}f[x][0]=max(f[x][0],max(f[x][1]+tmp,f[x][2]));
}
int main(){n=rd,k=rd,k++;FOR(i,1,n-1){int x=rd,y=rd,w=rd;add(x,y,w),add(y,x,w);}ll l=-INF,r=INF,ans=0 ;while(l<r){ll mid=(l+r+1)/2ll;tmp=Node{-mid,1};dfs(1,0);if(f[1][0].cnt==k){printf("%lld\n",f[1][0].val+k*mid);return 0;}if(f[1][0].cnt>k) l=mid+1;else r=mid;}tmp=Node{-l,1};dfs(1,0),printf("%lld\n",f[1][0].val+k*l);return 0;
}
