2024.11.5总结

A：

题目可变为：从一个点 \(x\) 走到左侧或右侧第一个 \(\geq y(y \leq x)\) 的位置需要花费 \(l_{x}\) 或 \(r_{x}\) 的代价，多次查询最短路。

首先观察一个点 \(x\) 只往 \(a\) 值高于自己的位置走能走到哪些点。

找到左侧从 \(x\) 出发的后缀 \(\max\) ，右侧从 \(x\) 出发的前缀 \(\max\) ，显然可以在这些位置之间左右横跳，并且由于 \(l_{i}\) 单增， \(r_{i}\) 单减的性质，如果想要走到这些点，一定不会在其中一步不往上走；同理如果想从这些点往 \(x\) 走，也不会在其中一步不往下走。

先假设 \(a\) 是一个排列，然后我们构造一棵 \(\mathcal O(n)\) 个点的树，对于一个点 \(x\) ，找到右侧第一个 \(x^{\prime}\) 满足 \(a_{x^{\prime}}>a_{x}\) （左侧同理），把这个 pair 看做一个点，将它的父亲设为 \(x\) 往左（右）走一步与 \(x^{\prime}\) 构成的 pair 对应的点。

这样，对于一个 \(\left(x, x^{\prime}\right)\) 的点，如果已知到 \(x\) 的最短路径长度与到 \(x^{\prime}\) 的最短路径长度，其到它的父亲对应的最短路径长度即为乘上一个 \(2 \times 2\) 的矩阵（ \((\max ,+)\) 乘法），倍增一下即能快速算出儿子到祖先的最短路（祖先到儿子同理）。

对于一名旅客，设起点为 \(s\) ，终点为 \(t\) ，不妨设 \(s<t\) ，设中间 \(a\) 的最大值为 \(a_{p}\) 。最短路一定是 \(s \rightarrow p \rightarrow t\) 或者 \(s\) 走到 \(s\) 左侧第一个 \(>a_{p}\) 的点再走到 \(t\) 右侧第一个 \(>a_{p}\) 的点再走到 \(t\) ，这两种情况中间过程均可表示为树上的祖先与儿子之间的最短路，直接倍增求值即可。

一道只需要倍增的数据结构题。

时间复杂度 \(\mathcal O(n \log n)\) 。

B：

不太懂放这么个打表题想表达什么。

C：

初始矩阵：

\[E= \left[ \begin{matrix} 0&0&1 \end{matrix} \right] \]

加入一个 \(t\)：

\[T= \left[ \begin{matrix} 1&0&0\\ 0&0&-1\\ 0&1&2\\ \end{matrix} \right] \]

加入一个 \(d\)：

\[D= \left[ \begin{matrix} 0&0&-1\\ 0&1&0\\ 1&0&2\\ \end{matrix} \right] \]

设 \(X=T\times D\)，每次转移就是 \(X\leftarrow X\times X\times T\)。

预处理前 \(10^6\) 个转移矩阵即可获得 51pts。

注意到

对于 \(n>799039878\) 时答案为 \(2^{n-799039878}\)，剩下的分块打表即可。

不太懂是怎么注意到的。