P6667 [清华集训2016] 如何优雅地求和 题解

一道非常有启发性的题目。

思路

考虑对于一个给出点值的多项式函数如何处理。

我们发现，对于一个 \(m\) 次多项式 \(f(x)\)，由于 \(\binom{x}{i}\) 为 \(i\) 次多项式，所以说我们必定可以把一个多项式函数写成如下模样：

\[F(k)=\sum_{i=0}^m\binom{k}{i}f_i \]

可以看出，\(f_i\) 实际上是非常好得到的。

我们可以进行二项式反演。

\[\begin{align} f_k&=\sum_{i=0}^m \binom{k}{i}(-1)^{k-i}F(i)\nonumber \\ &=k!\sum_{i=0}^m \frac{F(i)}{i!}\frac{(-1)^{k-i}}{(k-i)!}\nonumber \end{align} \]

卷积处理即可。

这样的话我们就可以使用简单的组合数快速求出多项式的点值。

感觉这个操作还是很巧妙的，可能还比较通用。

对于这道题，剩下的部分就很简单了，我们可以：

\[\begin{align} &=\sum_{k=0}^n\sum_{i=0}^m\binom{k}{i}f_i\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}\nonumber\\ &=\sum_{i=0}^mf_i\sum_{k=0}^n\binom{k}{i}\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}\nonumber\\ &=\sum_{i=0}^mf_i\sum_{k=0}^n\frac{n!k!}{k!(n-k)!i!(k-i)!}x^k(1-x)^{n-k}\nonumber\\ &=\sum_{i=0}^mf_i\frac{n!}{i!}\sum_{k=0}^n\frac{1}{(n-k)!(k-i)!}x^k(1-x)^{n-k}\nonumber\\ &=\sum_{i=0}^mf_i\frac{n!}{i!(n-i)!}\sum_{k=0}^n\frac{(n-i)!}{(n-k)!(k-i)!}x^k(1-x)^{n-k}\nonumber\\ &=\sum_{i=0}^mf_i\binom{n}{i}\sum_{k=0}^n\binom{n-i}{k-i}x^k(1-x)^{n-k}\nonumber\\ &=\sum_{i=0}^mf_i\binom{n}{i}\sum_{k=0}^{n-i}\binom{n-i}{k}x^{k+i}(1-x)^{n-k-i}\nonumber\\ &=\sum_{i=0}^mf_ix^i\binom{n}{i}\sum_{k=0}^{n-i}\binom{n-i}{k}x^{k}(1-x)^{n-i-k}\nonumber\\ &=\sum_{i=0}^mf_ix^i\binom{n}{i} (x+1-x)^{n-i}\nonumber\\ &=\sum_{i=0}^mf_ix^i\binom{n}{i}\nonumber\\ \end{align} \]

复杂度瓶颈在前面的处理 \(f_i\)。

时间复杂度：\(O(m\log m)\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int mod = 998244353;
const int G = 3;
const int I = 332748118;int n, m, x, k;
int a[20010];
int fc[20010];
int iv[20010];
int f[1 << 16];
int g[1 << 16];
int b[1 << 16];
int w[1 << 16];inline int power(int x, int y) {int res = 1;while (y) {if (y & 1) res = 1ll * res * x % mod;x = 1ll * x * x % mod, y >>= 1;}return res;
}
inline void init(int n) {int x = __lg(n) + 1;if (k == (1 << x)) return;k = (1 << x);for (int i = 0; i < k; i++)b[i] = (b[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) ? (k >> 1) : 0);
}
inline void ntt(int *f, int n, int flag) {init(n), w[0] = 1;for (int i = 0; i < k; i++) if (i < b[i]) swap(f[i], f[b[i]]);for (int i = 1; i < k; i <<= 1) {int b = i << 1;int w0 = power((flag ? G : I), (mod - 1) / b);for (int j = 1; j < i; j++) w[j] = 1ll * w[j - 1] * w0 % mod;for (int j = 0; j < k; j += b) {for (int l = 0; l < i; l++) {int x = f[j + l], y = 1ll * f[j + l + i] * w[l] % mod;f[j + l] = (x + y >= mod ? x + y - mod : x + y);f[j + l + i] = (x - y < 0 ? x - y + mod : x - y);}}}if (flag == 0) {int iv = power(k, mod - 2);for (int i = 0; i < k; i++) f[i] = 1ll * f[i] * iv % mod;}
}int main() {cin >> n >> m >> x;for (int i = 0; i <= m; i++) cin >> a[i];fc[0] = 1;for (int i = 1; i <= m; i++) fc[i] = 1ll * fc[i - 1] * i % mod;iv[m] = power(fc[m], mod - 2);for (int i = m; i >= 1; i--) iv[i - 1] = 1ll * iv[i] * i % mod;for (int i = 0; i <= m; i++) {f[i] = 1ll * a[i] * iv[i] % mod;g[i] = (i & 1 ? mod - iv[i] : iv[i]);}ntt(f, m + m, 1);ntt(g, m + m, 1);for (int i = 0; i < k; i++)f[i] = 1ll * f[i] * g[i] % mod;ntt(f, m + m, 0);int sm = 1;int ns = 0;for (int i = 0; i <= m; i++) {ns = (ns + 1ll * sm * f[i]) % mod;sm = (1ll * sm * x) % mod;sm = (1ll * sm * (n - i)) % mod;}cout << ns << "\n";
}