(ex)CRT / (ex)Lucas

以下所有分数默认取整。

CRT

有 \(\begin{cases}x\equiv a_1\pmod {p_1}\\x\equiv a_2\pmod {p_2}\\\cdots\\x\equiv a_n\pmod {p_n}\end{cases}\)，且所有 \(p\) 互质。

令 \(p'_i=\dfrac {\prod p}{p_i}\)，且 \(p'_i\) 在 \(\bmod p_i\) 意义下逆元为 \(q_i\)，则可构造解为 \(x=\sum\limits_{i=1}^na_ip'_iq_i\)。

注意这里没有保证 \(p\) 是质数，所以要用 exgcd 求逆元。

exCRT

\(p\) 不互质了，怎么办？

每次合并两个方程 \(x\equiv r_1\pmod p_1\) 和 \(x\equiv r_2\pmod p_2\)，假设现有方程是前者，初始 \(r_1=0, p_1=1\)。

我们现在需要满足 \(p_1k_1+r_1\equiv r_2\pmod p_2\)，即 \(p_1k_1+r_1= r_2+p_2k_2\)，移项即为 \(p_1k_1-p_2k_2=r_2-r_1\)，这个 exgcd 解出来，判一下无解，否则就可以直接还原，如果解出来 \(x\)，方程的通解就是 \(x+k\operatorname{lcm}(p_1,p_2)\)。

Lucas

对于 \(p\in \mathbb P\)，有

\[\dbinom{n}{m}\equiv\dbinom{\frac n p}{\frac m p}\dbinom{n\bmod p}{m\bmod p}\pmod p \]

exLucas

\(p\) 不是质数，怎么办？

可以将 \(p\) 唯一分解，然后对于每个分离出来的质因子的幂解决，最后 CRT 合并，以下令这个因子幂为 \(p^k\)（上面的 \(p\) undef 了）。

现在变成了 \(\dbinom{n}{m}\equiv r\pmod{p^k}\)，目标就是对每一个 \(p^k\) 求出 \(r\)，把组合数拆开来：

\[\dfrac{n!}{m!(n-m)!}\equiv r\pmod{p^k} \]

左边式子不是很好求的，但是只要把 \(p\) 都提出来就好了，令数 \(n!\) 里面 \(p\) 因子的个数为 \(g(n)\)，去除 \(p\) 因子的数为 \(f(n)\)，则答案变为：

\[\dfrac{f(n)}{f(m)f(n-m)}p^{g(n)-g(m)-g(n-m)}\equiv r\pmod{p^k} \]

现在下面那个肯定是存在逆元了，只差快速算出 \(f,g\)，先以 \(f\) 为例，下面式子都在 \(\bmod p^k\) 意义下进行。

\[\begin{aligned} f(n)&=n!\\ &=(p\cdot p^2\cdots p^t)(1\cdot 2\cdots (p-1)(p+1)\cdots n)\\ &=p^{\frac n p}(\dfrac n p)!(1\cdot 2\cdots (p-1)(p+1)\cdots n)\\ &=p^{\frac n p}f\left(\dfrac n p\right)\left(\prod\limits_{i\bmod p\not=0}^{p^k}i\right)^{\frac n{p^k}}\prod\limits_{i=p^k\frac{n}{p^k},i\bmod p\not=0}^{n}i\\ \end{aligned}\]

上面 \(f\) 里面阶乘要带换成 \(f\left(\dfrac n p\right)\) 的原因是这个里面可能还有 \(p\) 的因子，不断去除。这个就可以递归算了，\(g\) 同理，求的就是 \(f\) 最前面 \(p\) 的幂次。

\[g(n)=\dfrac{n}{p}+g\left(\dfrac n p\right) \]

两个边界都是 \(f(0)=g(0)=0\)。