局部修复码
设 \(C\) 是 \(\mathrm{F}_q\) 上参数为 \((n, K, d)\) 的纠错码, 则它有纠正 \(\left[\frac{d-1}{2}\right]\) 位错误的能力. 也就是说, 若码字 \(c=\left(c_1, \cdots, c_n\right) \in C\) 有 \(l\) 位 \(c_{i_1}, \cdots, c_i\) 在信道传输时出现错误，收到 \(c^{\prime}=\left(c_1^{\prime}, \cdots, c_n^{\prime}\right)\) ，其中当 \(i \neq i_1, \cdots, i_l\) 时 \(c_i^{\prime}=c_i\) (无错). 则当 \(l \leqslant\left[\frac{d-1}{2}\right]\) 时, 我们可以发现有错, 并且由 \(c^{\prime}\) 中无错的 \(n-l\) 位可以知道哪几位有错, 而且还可把错误改正过来, 即发现在 \(i=i_1, \cdots, i_l\) 处 \(c_i\) 有错, 并且可把 \(c_i\) 矤复成 \(c_i\).
2012 年, P. V. Kumar 等人考虑实际中常发生的另一种出错情形, 即码字 \(c=\left(c_1, \cdots, c_n\right)\) 在信道中传输时产生 "擦除错", 即有 \(l\) 位 \(i=i_1, \cdots, i_l\)处 \(c_i\) 模糊不清, 收到 \(c^{\prime}=\left(c_1^{\prime}, \cdots, c_n^{\prime}\right)\), 在 \(i=i_1, \cdots, i_l\) 处 \(c_i\) 记为 \(x\)(也就是说,我们明确知道有些位置是模糊的,而其他位置是精确的). 而在其余位 \(i \neq i_1, \cdots, i_i\) 处 \(c_i^{\prime}=c_i\) (无错). 对于这种错误模式, 我们知道码字出错的位置 \(i_1, \cdots, i_l\). 我们希望对于 \(\{1, \cdots, n\}\) 这 \(n\) 位的每种可能的 \(l\) 位, 即 \(I=\left\{i_1, \cdots, i_l\right\}\) 是 \(\{1,2, \cdots, n\}\) 的任意 \(l\) 元子集合, 都存在一个 \(r\) 元子集合 \(J=\left\{j_1, \cdots, j_r\right\} \subseteq\{1, \cdots, n\} \backslash I\), 使得码字 \(c\) 的每位 \(c_i\left(i=i_1, \cdots, i_l\right)\) (收到为 \(c_i^{\prime}=x\)) 均可由收到无误的 \(r\) 位 \(\left\{c_j \mid j \in J\right\}\) 计算出来. 集合 \(J\) 叫作 \(I\) 的局部修复集. 而 \(r\) 叫作局部修复度 (locality). 希望正整数 \(r=|J|\) 尽量小, 即希望用较少的精确码字分量算出所有 \(l\) 个模糊不清的分量. 这种码称作局部修复码。
十多年来, 局部修复码受到人们广泛的关注, 并且还有许多推广的方案 (比如说对 \(\{1, \cdots, n\}\) 的每个 \(l\) 元子集合 \(I\), 可以考虑有多个局部修复集,以便当某个局部修复集上也有模糊位时，采用另一个局部集进行修复)。研究局部修复度 \(r\) 的界限, 构作好的局部修复码是研究者的关注点. 为简单起见,我们只考虑 \(l=1\) 的情形, 即在码字传输时, 只有一位发生擦除错误. 对码字 \(c=\left(c_1, \cdots, c_n\right)\) 的每一位 \(i(1 \leqslant i \leqslant n)\), 均有 \(r\) 位的局部修复集 \(J_i \subseteq\) \(\{1, \cdots, n\} \backslash\{i\}\), 使得由 \(C\) 中 \(r\) 位 \(c_j\left(j \in J_i\right)\) 可算出 (恢复) \(c_i\).
为了给出局部修复码确切的数学定义，需要进一步阐明何时一个 \(r\) 元子集 \(J \subseteq\{1,2, \cdots, n\} \backslash\{i\}\) 是第 \(i\) 位的局部修复集.
引理 1
设 \(C \subseteq \mathrm{~F}_q^n\) 是码长为 \(n\) 的 \(q\) 元码, \(1 \leqslant i \leqslant n, J \subseteq\{1, \cdots, n\} \backslash\) \(\{i\}\). 对每个 \(\alpha \in \mathbb{F}_q\) ，令
则 \(J\) 是码 \(C\) 第 \(i\) 位的局部修复集当且仅当对 \(\mathrm{F}_q\) 中的任意两个不同元素 \(\alpha\) 和 \(\beta\), \(C_J(i, \alpha)\) 和 \(C_J(i, \beta)\) 均不相交.
证明 显然，也可以直接将此视作局部修复集的定义。\(\square\)
定义 1
\(C \subseteq \mathbb{F}_q^n\) 称作具有局部修复度 \(r(\geqslant 1)\) 的局部修复码 (locally repairable code), 是指对每个 \(i \in\{1, \cdots, n\}\) 均存在 \(\{1, \cdots, n\} \backslash\{i\}\) 的子集 \(J_i\), \(\left|J_i\right| \leqslant r\), 使得对 \(\mathbb{F}_q\) 中任意两个不同的元素 \(\alpha, \beta, C_{J_i}(i, \alpha) \cap C_{J_i}(i, \beta)=\varnothing\).
我们只讨论线性码的情形. 若 \(C\) 是 \(\mathbb{F}_q\) 上参数为 \([n, k, d]\) 的线性码, 如果作为局部修复码它的局部修复度为 \(r\), 可以证明这些参数之间有如下关系, 叫作局部修复码的 \(Singleton\) 界:
\(d \leqslant n-k-\left\lceil\frac{k}{r}\right\rceil+2\) (通常的 \(Singleton\) 界为 \(d \leqslant n-k+1\) ).达到此界的线性码 \(C\) 叫作最佳局部修复码. 目前已有许多构作这种码的方法,包括用函数域的构作方法.
现在讨论线性码的局部修复性.
对于 \(\mathbb{F}_q^n\) 中的向量 \(a=\left(a_1, \cdots, a_n\right)\), 记 \(\operatorname{Supp}(a)=\left\{i \mid 1 \leqslant i \leqslant n, a_i \neq 0\right\}\),叫作向量 \(a\) 的支撑集 (support), 即 \(a\) 的所有非零分量所在位置的集合.
引理 2 (线性码的局部修复性)
设 \(C\) 是 \(\mathbb{F}_q\) 上参数为 \([n, k, d]\) 的线性码, \(d \geqslant 2\). 则
\((1)\) 对每个 \(i, 1 \leqslant i \leqslant n,\{1, \cdots, n\} \backslash\{i\}\) 中的每个 \(n-d+1\) 元子集均是码 \(C\) 第 \(i\) 位的局部修复集. 从而 \(C\) 是局部修复度 \(r=n-d+1\) 的局部修复码.
\((2)\) 若 \(C^{\perp}\) 中存在非零码字 \(c^{\prime}\), 则对任何 \(i \in \operatorname{Supp}\left(c^{\prime}\right), \operatorname{Supp}\left(c^{\prime}\right) \backslash\{i\}\) 均是码 \(C\) 第 \(i\) 位的局部修复集. 特别对于 \(C\) 的校验矩阵的每个行向量 \(W\), 对于 \(\operatorname{Supp}(W)\)中的每个 \(i, \operatorname{Supp}(W) \backslash\{i\}\) 都是第 \(i\) 位的局部修复集.
证明
\((1)\) 设 \(J\) 是 \(\{1, \cdots, n\} \backslash\{i\}\) 的一个 \(n-d+1\) 元子集. 如果 \(J\) 不是第 \(i\) 位的局部修复集, 则存在 \(\alpha, \beta \in \mathbb{F}_q, \alpha \neq \beta\), 使得 \(C_J(i, \alpha)\) 和 \(C_J(i, \beta)\)有公共元 \(a \in \mathbb{F}_q^{n-d+1}\), 即有 \(c=\left(c_1, \cdots, c_n\right), c^{\prime}=\left(c_1^{\prime}, \cdots, c_n^{\prime}\right) \in C\) ，使得 \(c_J=c_J^{\prime}=a, c_i=\alpha, c_i^{\prime}=\beta\). 考虑 \(b=c-c^{\prime} \in C\), 则 \(b_J=c_J-c_J^{\prime}\) 为 \(F_q^{n-d+1}\)中的全 \(0\) 向量, \(b_i=c_i-c_i^{\prime}=\alpha-\beta \neq 0\). 于是 \(b\) 是 \(C\) 中的非零码字，它的汉明重量 \(W_H(b) \leqslant n-(n-d+1)=d-1\). 这和 \(C\) 的最小距离为 \(d\) 相矛盾. 从而 \(\{1, \cdots, n\} \backslash\{i\}\) 的每个 \(n-d+1\) 元子集均为第 \(i\) 位的局部修复集.
\((2)\) 对于每个码字 \(c \in C, 0=\left(c, c^{\prime}\right)=\sum_{j \in \operatorname{Supp}\left(c^{\prime}\right)} c_j c_j^{\prime}\). 并且对每个 \(j \in\) \(\operatorname{Supp}\left(c^{\prime}\right), c_j^{\prime} \neq 0\). 所以对每个 \(i \in \operatorname{Supp}\left(c^{\prime}\right), c_i c_i^{\prime}=-\sum_{\substack{j \in \operatorname{Supp}\left(c^{\prime}\right) \\ j \neq i}} c_j^{\prime} c_j, c_i^{\prime} \neq 0\). 从而 \(c_i\) 均可由 \(\left\{\left.c_j\right|_{j \neq i} j \in \operatorname{Supp}\left(c^{\prime}\right)\right\}\) 的 \(\mathbf{F}_q\)-线性组合计算出来 (系数 \(c_j^{\prime}\) 由 \(c^{\prime}\) 给出). 这就表明 \(\operatorname{Supp}\left(c^{\prime}\right) \backslash\{i\}\) 为码 \(C\) 第 \(i\) 位的局部修复集. 最后一个论断是由于 \(C\) 的校验阵每个行向量均是 \(C^{\perp}\) 中的码字.\(\square\)
推论 (所有线性 \(MDS\) 码都是最优局部修复码)
证明 对于 \(\mathbb{F}_q\) 上每个线性 \(MDS\) 码 \(C\), 参数为 \([n, k, d], d \geqslant 2, n=\) \(k+d-1\). 熟知对偶码 \(C^{\perp}\) 也是 \(MDS\) 线性码, 参数为 \(\left[n, n-k, d^{\perp}\right], d^{\perp}=\) \(n-(n-k)+1=k+1\). 并且熟知对任何 \(i(1 \leqslant i \leqslant n), C^{\perp}\) 中均有码字 \(c^{\prime}=\left(c_1^{\prime}, \cdots, c_n^{\prime}\right)\) 使得 \(i \in \operatorname{Supp}\left(c^{\prime}\right),\left|\operatorname{Supp}\left(c^{\prime}\right)\right|=k+1\).
线性空间的一种均衡性，简单归纳就可以证明
由引理 \(2.(2)\) 可知 \(C\) 是局部修复度 \(r=k\) 的局部修复码. 或者由引理 \(2.(1)\) 也可知 \(C\) 的局部修复度可为 \(n-d+1=(k+d-1)-d+1=k\). 另一方面, 由 \(Singleton\) 界 \(d \leqslant n-k-\left\lceil\frac{k}{r}\right\rceil+2=d+1-\left\lceil\frac{k}{r}\right\rceil\) 可知 \(\left\lceil\frac{k}{r}\right\rceil \leqslant 1\). 从而局部修复度不能小于 \(k\). 这表明所有 \(MDS\) 线性码都是最佳局部修复码. 缺点是码长太小: 当 \(q\) 为偶数时, \(n \leqslant q+2\), 而当 \(q\) 为奇素数幂时, 猜想 \(n \leqslant q+1\).
现在介绍文章 L. Ma and C. Xing, "Constructive Asymptotic Bounds of Locally Repairable Codes via Function Fields," in IEEE Transactions on Information Theory,2020 中用函数域构作的局部修复码. 它们具有更为灵活的参数和较小的局部修复度 \(r\).
以下设 \(K\) 是以 \(\mathbb{F}_q\) 为常数域的函数域, \(g=g(K) \geqslant 1\) 为域 \(K\) 的亏格. 固定 \(K\) 的一个 \(1\) 次素除子 \(\infty\). 由黎曼 - 罗赫定理知 \(L(n \infty)\) 的维数 \(l(n \infty)\) 有关系 \((n=0,1, \cdots, 2 g-1)\) :
这就表明存在正整数序列 \(0=n_1<n_2<\cdots<n_g \leqslant 2 g-1\) (叫 \(Weierstrass~gap\) 序列)，使得
\(L(0 \cdot \infty)=L(\infty)=\cdots=L\left(\left(n_2-1\right) \infty\right)\) ，维数均为 \(1\) ，基为 \(\left\{f_1\right\}\) ；
\(L\left(n_2 \infty\right)=L\left(\left(n_2+1\right) \infty\right)=\cdots=L\left(\left(n_3-1\right) \infty\right)\), 维数均为 \(2\) , 基为 \(\left\{f_1, f_2\right\}\) ；
\(\cdots~\cdots\)
\(L\left(n_g \infty\right)=L\left(\left(n_g+1\right) \infty\right)=\cdots=L((2 g-1) \infty)\), 维数均为 \(g\), 基为 \(\left\{f_1, f_2, \cdots, f_g\right\}\).
由 \(f_1 \in L(0)\) 可知 \(f_1=a\) ( \(\mathrm{F}_q^*\) 中常值 \(a\) 的函数), 从而 \(V_{\infty}\left(f_1\right)=0=n_1\), \(\operatorname{div}\left(f_1\right)_{-}=0\). 由 \(f_2 \in L\left(n_2 \infty\right)\) 知 \(V_{\infty}\left(f_2\right) \geqslant-n_2\). 由 \(f_2 \notin L\left(\left(n_2-1\right) \infty\right)\)知 \(V_{\infty}\left(f_2\right) \leqslant-\left(n_2-1\right)\). 于是 \(V_{\infty}\left(f_2\right)=-n_2. \operatorname{div}\left(f_2\right)_-=n_2 \cdot \infty\) 类似地知 \(V_{\infty}\left(f_j\right)=-n_j(1 \leqslant j \leqslant g)\). 即 \(L((2 g-1) \infty)\) 的一组基 \(\left\{f_1, \cdots, f_g\right\}\) 满足 \(V_{\infty}\left(f_j\right)=-n_j(1 \leqslant j \leqslant g)\), 并且 \(\operatorname{div}\left(f_j\right)_-=n_j \cdot \infty\) (极点除子).
取 \(\pi\) 为对 \(1\) 次素除子 \(\infty\) 的局部参数，即 \(V_{\infty}(\pi)=1\) 。则 \(f_j\) 有 \(\pi-adic\) 展开:
其中 \(c_{i j} \in \mathbf{F}_q\). 事实上, 由 \(V_{\infty}\left(f_j\right)=-n_j\), 可知当 \(0 \leqslant i \leqslant 2 g-2-n_j\) 时 \(c_{i j}=0\), 而对 \(i=2 g-1-n_j, c_{i j} \neq 0\).
对于 \(t \geqslant 0\), 考虑下面在 \(\mathrm{F}_{\mathrm{q}}\) 上的 \(2 g+t\) 行 \(g\) 列矩阵
引理 3 \(A\) 的秩为 \(g\) (满秩). 事实上, \(A\) 的前 \(2 g\) 行的秩为 \(g\).
证明 设 \(A\) 的前 \(2 g\) 行为矩阵 \(\left[V_1, \cdots, V_g\right], V_j\) 为 \(\mathbb{F}_q^{2 g}\) 中的列向量. 如果它们线性相关, 即 \(\sum_{j=1}^g \lambda_j V_j=0\) (\(\lambda_j \in \mathbb{F}_q\), 不全为 \(0\)), 则 \(\sum_{j=1}^g \lambda_j c_{i j}=0\) \((0 \leqslant i \leqslant 2 g-1)\). 于是
这表明 \(V_{\infty}\left(\sum_{j=1}^g \lambda_j f_j\right) \geqslant 1\) 。但是 \(V_{\infty}\left(f_j\right)(1 \leqslant j \leqslant g)\) 是彼此不同的小于或等于 \(0\) 的整数. 由于 \(\lambda_j(1 \leqslant j \leqslant g)\) 不全为 \(0\) , 因此 \(V_{\infty}\left(\sum_{j=1}^g \lambda_j f_j\right)=\) \(\min \left\{V_{\infty}\left(f_j\right) \mid \lambda_j \neq 0\right\} \leqslant 0\). 这就导致矛盾. 因此矩阵 \(A\) 的前 \(2 g\) 行是满秩的. \(\square\).
在后面我们会假设 \(A\) 的前 \(g\) 行是满秩的。这个假设是自然的，因为常用的函数域是有理函数域的亏格 \(g=0\),在这种情况下,利用完全一样的方法可以说明 \(A\) 的前 \(g\) 行满秩。
现在固定 \(r \geqslant 1\), 令 \(\left\{P_{i j} \mid 1 \leqslant i \leqslant m, 1 \leqslant j \leqslant r\right\}\) 为 \(K\) 中 \(m r\) 个不同的 \(1\) 次素除子，并且均不为 \(\infty\) (从而要求 \(K\) 中 \(1\) 次素除子的个数 \(\geqslant m r+1\) ). 则 \(L\left((2 g-1) \infty+P_{i j}\right)\) 的维数为 \(g+1\), 将 \(L((2 g-1) \infty)\) 的基 \(\left\{f_1, \cdots, f_g\right\}\) 扩充为 \(L\left((2 g-1) \infty+P_{i j}\right)\) 的基 \(\left\{f_1, \cdots, f_g, g_{i j}\right\}\), 则 \(V_{P_{i j}}\left(g_{i j}\right)=-1(1 \leqslant i \leqslant\) \(m, 1 \leqslant j \leqslant r)\).
设 \(g_{i j}=\pi^{-2 g+1} \sum_{l=0}^{\infty} b_{l i j} \pi^l\left(b_{l i j} \in \mathbb{F}_q\right)\). 由引理 \(3\), 矩阵 \(A\) 前 \(2 g\) 行的秩为 \(g\).为符号简单起见, 不妨设 \(A\) 的前 \(g\) 行构成的方阵
的秩为 \(g\), 即 \(A_1\) 为 \(\mathbb{F}_q\) 上的可逆方阵. 于是线性方程组
有唯一解 \(\left(x_1, \cdots, x_g\right)=\left(\alpha_{1 i j}, \cdots, \alpha_{g i j}\right) \in \mathbb{F}_q^g\), 即 \(\sum_{w=1}^g c_{l w} \alpha_{w i j}=b_{l i j}(0 \leqslant l \leqslant\) \(g-1\) ).
令 \(f_{i j}=g_{i j}-\sum_{w=1}^g \alpha_{w i j} f_w\), 则
其中对于 \(l \geqslant g\),
引理 4
对于 \(1 \leqslant i \leqslant m, 1 \leqslant j \leqslant r\).
\((1)\) \(f_{i j} \in L\left((2 g-1) \infty+P_{i j}\right), V_{P_{i j}}\left(f_{i j}\right)=-1\).
\((2)\) 若 \((u, v) \neq(i, j)\), 则 \(V_{P_{i j}}\left(f_{u v}\right) \geqslant 0\).
\((3)\) \(\left\{f_{i j} \mid 1 \leqslant i \leqslant m, 1 \leqslant j \leqslant r\right\}\) 是 \(\mathbb{F}_q\) - 线性无关的.
证明
\((1)\) \(f_{i j}=g_{i j}-\sum_{w=1}^g \alpha_{w i j} f_w \in L\left((2 g-1) \infty+P_{i j}\right), V_{P_{i j}}\left(g_{i j}\right)=-1\).由 \(f_w \in L((2 g-1) \infty)\) 知 \(V_{P_{i j}}\left(f_w\right) \geqslant 0(1 \leqslant w \leqslant g)\). 再由非阿基米德性质便知 \(V_{P_{i j}}\left(f_{i j}\right)=-1\).
\((2)\) 这是由于 \(f_{i j} \in L\left((2 g-1) \infty+P_{i j}\right)\), 而 \(P_{i j} \neq P_{u v}\).
\((3)\) 设 \(\left\{f_{i j} \mid 1 \leqslant i \leqslant m, 1 \leqslant j \leqslant r\right\}\) 是 \(\mathbb{F}_q\)-线性相关的, 即 \(\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^r \lambda_{i j} f_{i j}=0 \quad\left(\lambda_{i j} \in \mathbb{F}_q\right.\), 且对某个 \(\left.\left(i_0, j_0\right), \lambda_{i_0 j_0} \neq 0\right)\).
由 \((1)\), \((2)\) 和非阿基米德性质, \(V_{P_{i_0 j_0}}\left(\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^r \lambda_{i j} f_{i j}\right)=V_{P_{i_0 j_0}}\left(f_{i_0 j_0}\right)=-1\). 这和 \(\sum_{i, j} \lambda_{i j} f_{i j}=0\) 矛盾. \(\square\)
现在对 \(1 \leqslant i \leqslant m\), 取 \(\alpha_i \in \mathbb{F}_q^*, \alpha_i \neq 1\) (从而要求 \(q \geqslant 3\) ). 令 \(f_{i, r+1}=\) \(\alpha_i f_{i 1}\). 定义矩阵 \((g+t\) 行 \(r+1\) 列)
(第 \(j\) 列为 \(f_{i j}\) 的局部展开系数) \((1 \leqslant j \leqslant r+1)\).
最后，令
这是 \(g+t+m\) 行 \(m(r+1)\) 列矩阵, 前 \(m\) 行分别各有连续 \(r+1\) 个元素为 \(1\) ,其余为 \(0\) .
定理 5 (利用函数域的局部参数展开系数矩阵构造的局部修复码)
设 \(q \geqslant 3, C\) 是以 \(H\) 为校验矩阵的线性码. 则 \(C\) 是参数为 \([n, k, d]_q\)并且局部修复度为 \(r\) 的局部修复码，其中
证明 码长显然为 \(n=m(r+1)\) ( \(H\) 的列数). 由于 \(H\) 的秩小于行数 \(g+t+m\), 于是 \(k=n-\operatorname{rank}(H) \geqslant n-m-g-t=n-\frac{n}{r+1}-g-t\). 进而, \(H\) 的前 \(m\) 行向量的支撑集为彼此不相交的 \(r+1\) 元集合, 其并集为码字的 \(n=m(r+1)\) 个坐标. 由引理 \(2\) 可知码 \(C\) 的局部修复度为 \(r\). 剩下只需证明 \(d \geqslant t+1\), 即要证 \(H\) 的任意 \(t\) 个不同的列均 \(\mathbb{F}_q\)-线性无关.
取矩阵 \(H\) 的 \(t\) 列 \(\left\{h_{i j} \mid 1 \leqslant i \leqslant m, j \in S_i\right\}\), 其中 \(S_i\) 为 \(\{1,2, \cdots, r+1\}\) 的子集合, \(\sum_{i=1}^m\left|S_i\right|=t\). 设它们 \(\mathbb{F}_q\)-线性相关, 即 \(\sum_{i=1}^m \sum_{j \in S_i} \lambda_{i j} h_{i j}=0\), 其中 \(\lambda_{i j} \in \mathbb{F}_q\),不全为 0 。令
则当 \(i \notin I\) 时, \(\left|S_i\right| \leqslant 1\). 而
我们先证明
\((A)\) \((1)\) 式右边的 \(\lambda_{i j}\) 均为 0 .
如果不然，即有 \(i_0 \notin I, S_{i_0}=\left\{j_0\right\}, \lambda_{i_0 j_0} \neq 0\) 。则 \((1)\) 式右边和式列向量的第 \(i_0\) 位为 \(-\lambda_{i_0 j_0}\), 而左边和式列向量的第 \(i_0\) 位为 0 . 矛盾. 证毕.
由 \((A)\) 给出 \((1)\) 式右边为零向量, 即 \(\sum_{i \in I} \sum_{j \in \mathcal{S}_i} \lambda_{i j} h_{i j}=0\). 由此可知 \(\sum_{i \in I } \sum_{j \in S_i} \lambda_{i j} a_{l i j}=0\) (对于 \(g \leqslant l \leqslant 2 g-1+t\) ). 从而
这给出 \(V_{\infty}\left(\sum_{i \in I} \sum_{j \in S_i} \lambda_{i j} f_{i j}\right) \geqslant 1+t\). 从而
但是 \(\operatorname{deg}\left(-(1+t) \infty+\sum_{i \in I} \sum_{j \in S_i} P_{i j}\right)=-(1+t)+\sum_{i \in I}\left|S_i\right| \leqslant-(1+t)+t=-1\).于是 \((2)\) 式右边的空间为 \(\{0\}\), 即得到
我们要证 \((3)\) 式左边所有 \(\lambda_{i j}\) 均为 \(0\) 。于是由 \((A)\) 知所有 \(\lambda_{i j}\) 均为 \(0\) , 这和假设矛盾. 先证
\((B)\) 如果不存在 \(i \in I\) 使得 1 和 \(r+1\) 均属于 \(S_i\). 这时对每个 \(i \in I, f_{i 1}\)和 \(f_{i, r+1}=\alpha_i f_{i 1}\left(\alpha_i \neq 0\right)\) 在 \((3)\) 式左边至多出现 \(1\) 个. 由引理 \(4.(3)\) 即知 \((3)\) 式左边所有 \(\lambda_{i j}\) 均为 \(0\).
\((C)\) 设有 \(u \in I\), 使得 \(1\) 和 \(r+1\) 均属于 \(S_u\), 则由 \((3)\) 式给出
\((C1)\) 若有 \(j_0 \in S_u \backslash\{1, r+1\}\) 使 \(\lambda_{u, j_0} \neq 0\). 由引理 \(4\) 式 \((4)\) 左边的 \(V_{P_{u, j_0}}\) 值 \(\geqslant 0\), 而式 \((4)\) 右边的 \(V_{P_u, j_0}\) 值 \(=-1\), 矛盾.
\((C2)\) 剩下情形是对所有 \(j \in S_u \backslash\{1, r+1\}, \lambda_{u j}\) 均为 0 。
如果 \(\lambda_{u 1}+\alpha_u \lambda_{u, r+1} \neq 0\), 由引理 \(4,(4)\) 式左边的 \(V_{P_{u 1}}\) 值 \(\geqslant 0\) ，但是 \((4)\) 式右边和式的 \(V_{P_{w 1}}\) 值 \(=-1\), 又导致矛盾.
最后, 若 \(\lambda_{u, 1}+\alpha_u \lambda_{u, r+1}=0\). 由校验阵 \(H\) 的诸列为 \(\left\{h_{i j}\right\}\) 以及 \(H\) 前 \(m\)个行向量的特殊选取, 可知 \(0=\sum_{j \in S_u} \lambda_{u, j}=\lambda_{u 1}+\lambda_{u, r+1}\). 再由 \(\alpha_u \neq 1\) 即知 \(0=\lambda_{u, 1}=\lambda_{u, r+1}\). 即对每个 \(j \in S_u, \lambda_{u j}=0\).
以上证明了对所有 \(i \in I, j \in S_i, \lambda_{i j}\) 均为 \(0\) . 这和 \(\left\{f_{i j} \mid i \in I, j \in S_i\right\}\) 的线性相关假设矛盾. 于是 \(d \geqslant t+1\). \(\square\)
和前人用代数曲线构作局部修复码的工作相比，上述构造采用了更精细的技术, 使用了函数 \(P-adic\) 局部展开的各项系数构作线性码的校验阵. 其目的不仅使码的参数更为灵活, 而且利用一些极大曲线族, 可以给出性能良好的局部修复码, 改进参数的渐近性能. 详情参见文章 L. Ma and C. Xing, "Constructive Asymptotic Bounds of Locally Repairable Codes via Function Fields," in IEEE Transactions on Information Theory,2020.
