最短向量
格的一个基本参数是格中最短非零向量的长度(我们必须要求一个非零向量,因为零向量总是包含在格中,且它的范数是零) 。此参数由 \(\lambda_1\) 表示。长度,我们指的是欧几里德范数,或 \(\ell_2\) 范数,定义为 \(\|x\|_2=\sqrt{\Sigma x_i^2}\) 。 为了方便,我们通常用 \(\|x\|\) 简单地表示这个范数。偶尔会考虑其他范数,如 \(\ell_1\) 范数 \(\|x\|_1=\Sigma\left|x_i\right|\) 或 \(\ell_{\infty}\) 范数 \(\left|\left|x \|_{\infty}=\max \right| x_i\right|\) 。
定义 \(\lambda_1\) 的等效方法如下:使得半径为 \(r\) 的球内的格点向量张成的空间是一维子空间的最小值 \(r\)。这个定义导致了 \(\lambda_1\) 的以下推广,称为逐次最小长度 (successive minima)。
定义 1 逐次最小长度
设 \(\Lambda\) 为秩 \(n\) 的格。对于 \(i \in 1, \ldots, n\) ,我们定义了第 \(i\) 个逐次最小长度为,
其中 \(\bar{B}(0, r)=\{x \in R^m \mid\|x\| \leq r\}\) 是半径为 \(r\) 位于原点的闭球。
定理 2 (施密特正交化可以得到最短向量的下界)
假设 \(B\) 是秩 \(n\) 格的基, \(\tilde{B}\) 是 \(B\) 的施密特正交化,可以得到
证明: 设 \(x \in \mathbb{Z}^{n \times 1}\) 是任意的非零整数向量,让我们证明 \(\|B x\| \geq \min \left\|\tilde{b}_i\right\|\) 。不妨设 $j
\in {1,2,······,n}\ s.t.\ x_j \neq 0 $ 且 \(\forall k > j\) ,都有 \(x_k=0\)
其中, \(\forall i<n ,\left\langle b_i, \tilde{b}_n\right\rangle=0,\left\langle b_j, \tilde{b}_j\right\rangle=\left\langle\tilde{b}_j, \tilde{b}_j\right\rangle\) 。另一方面, \(\left|\left\langle B x, \tilde{b}_j\right\rangle\right| \leq\|B x\| \cdot\left\|\tilde{b}_j\right\|\) ,因此我们得出结论
最短向量的上界
方便起见,只讨论满格,很容易推广到非满秩的格。
定理 3 (BLICHFELD定理)
对于任何满格 \(\Lambda \subseteq \mathbb{R}^n\) 和集合 \(S \subseteq \mathbb{R}^n(\operatorname{vol}(S)>\operatorname{det}(\Lambda)\) )存在两个不等点 \(z_1, z_2 \in S, z_1-z_2 \in \Lambda\)。
证明: 取 \(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\) 为格 \(\Lambda\) 的一组基. \(P=P\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)\)是上面定义的平行多面体(基础区域),则 \(\{h+P \mid h \in H\}\) 是一些两两非交的集合,它们的并集为 \(\mathbb{R}^n\) 。从而 \(\{S \cap(h+P) \mid h \in H\}\) 也是一些两两非交的集合,并且它们的并集为 \(S\). 因此
如果对于 \(H\) 中任意两个不同的元素 \(h\) 和 \(h^{\prime},(-h+S) \cap P\) 与 \(\left(-h^{\prime}+S\right) \cap P\) 均是非交的,则
这就与假设 \(\operatorname{vol}(S)>\operatorname{det}(\Lambda)\) 相矛盾, 所以存在 \(h, h^{\prime} \in H, h \neq h^{\prime}\),使得 \((-h+S) \cap P\) 与 \(\left(-h^{\prime}+S\right) \cap P\) 有公共元素 \(x\) ,即 $x=-h+s=-h{\prime}+s, s, s^{\prime} \in S $,而 \(0 \neq h-h^{\prime}=s-s^{\prime} \in H\).
定理 4 (闵可夫斯基凸体定理)
设 \(\Lambda\) 为秩 \(n\) 的全秩格(满格)。对于任何中心对称凸集 \(S\) ,如果 \(\operatorname{vol}(S)>2^n \operatorname{det}(\Lambda)\) 则 \(S\) 包含一个非零格点。
证明: 定义 \(\hat{S}=\frac{1}{2} S=\{x \mid 2 x \in S\}\) ,则 \(\operatorname{vol}(\hat{S})=2^{-n} \operatorname{vol}(S)>\operatorname{det}(\Lambda)\) 。由定理 \(3\) 可得,存在两个点 \(z_1,z_2 \in \hat{S}\) 使得 \(z_1- z_2 \in \Lambda\) 是一个非零格点。由于 \(z_1, z_2 \in \frac{1}{2} S\) ,因此 \(2 z_1, 2 z_2 \in S\) ,又因为 \(S\) 是中心对称的,所以 \(-2 z_2 \in S\) 。由上可得,由于 \(S\) 为凸集,所以 \(\frac{2 z_1-2 z_2}{2}=z_1-z_2\) 也在 \(S\) 中,得证。
推论 5 (最短向量的上界)(闵可夫斯基第一定理)
对于秩为 \(n\) 的任何全秩格 \(\Lambda\),则有 \(\lambda_1(\Lambda) \leq \sqrt{n}(\operatorname{det} \Lambda)^{\frac{1}{n}}\)
证明:设格 \(\Lambda\) 的一组基为 \(\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_n\), 设 \(\boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_n\right] \in \mathbb{R}^{m \times n}\),记向量 \(\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_n\) 生成的线性空间为 \(\operatorname{span}\left(\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_n\right)\), 即
设 \(S=\mathcal{B}\left(O, \sqrt{n} \operatorname{det}(\Lambda)^{\frac{1}{n}}\right) \cap \operatorname{span}\left(\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_n\right)\) 是 \(\operatorname{span}\left(\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_n\right)\) 中以原点为中心,以 \(\sqrt{n} \operatorname{det}(\Lambda)^{\frac{1}{n}}\) 为半径的开球,注意到 \(S\) 的体积严格大于 \(2^n \operatorname{det}(\Lambda)\) ,因为 \(S\) 中包含一个 \(n\) 维的边长为 \(2 \operatorname{det}(\Lambda)^{\frac{1}{n}}\) 的超立方体,故由定理 \(4\) 存在一个非零向量 \(\boldsymbol{v} \in S \cap \Lambda\) ,使得 \(\|\boldsymbol{v}\|<\sqrt{n} \operatorname{det}(L)^{\frac{1}{n}}\) 。
因此,格 \(L\) 中最短向量的长度 \(\lambda_1\) 满足