欧拉降幂

喵喵喵~

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众所周知： $a^b \equiv\begin{cases}a^b & b<\varphi(m)\a^{b\bmod \varphi(m)+\varphi(m) } & b\ge\varphi(m)\end{cases}\pmod m$。

同时，当 $n>2$ 时，有 $2\mid\varphi(n)$ 以及 $\varphi(2^kn)=2\varphi(n)\le\dfrac{\varphi(n)}2(2\nmid n)$。所以易得对 $n$ 求 $\log$ 次 $\varphi$ 后其值固定为 1。

所以对于一个幂塔 $a_1^{a_2{a_3^{\cdots{a_n}}}}\bmod p$，可以考虑递归求 $a_2^{a_3{\cdots^{a_n}}}\bmod\varphi(p)$，再据情况考虑是否加 $\varphi(p)$。容易发现，最多递归 $\log$ 次，这是一件很棒的事。

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下面有 3 道例题。

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CF906D Power Tower

[Ynoi2016] 炸脖龙 I

上帝与集合的正确用法

给定 $n$ 个数 $w_1,w_2,...,w_n$ 与模数 $m$。

给出 $q$ 组询问，每次询问给出 $l,r$，求 $w_l^{w_{l+1}^{w_r}}} \mod m$ 的值。

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考虑对于一次询问 $S(l,r,m)$ 规约到 $S(l+1,r,\varphi(m))$，做完了。

上帝与集合由于指数一直是 2 的无穷幂塔，所以一定会加上 $\varphi(m)$。另外两题注意在快速幂时打个标记记录是否取过模。