Prufer 序列
Prufer 序列可以将一个带标号 \(n\) 个节点的树用 \([1, n]\) 中的 \(n-2\) 个整数表示，即 \(n\) 个点的完全图的生成树与长度为 \(n-2\)，值域为 \([1, n]\) 的数列构成的双射。
Prufer 序列可以方便地解决一类树相关的计数问题，比如 凯莱定理：\(n^{n-2}\) 个点的完全图的生成树有 \(n^{n-2}\) 个。
对树构造 Prufer 序列
Prufer 是这样构造的：
每次选择一个编号最小的叶节点并删掉它，然后在序列中记录下它连接到的那个节点。
重复 \(n-2\) 次后就只剩下两个节点，算法结束。
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\(\mathcal{O}(n \log n)\) 显然，使用堆可以做到 \(\mathcal{O}(n \log n)\) 的复杂度。
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\(\mathcal{O}(n)\) 使用一个指针代替堆找最小值，可以做到 \(\mathcal{O}(n)\) 的复杂度。
具体而言，指针指向编号最小的叶节点。每次删掉它之后，如果产生了新的叶节点且编号比指针指向的更小，则直接继续删掉，否则自增找到下一个编号最小的叶节点。
Prufer 序列的性质
从上述构造 Prufer 序列的过程可以看出 Prufer 序列具有以下两个性质：
- 在构造完 Prufer 序列后，原树中会剩下两个节点，其中一个一定是编号最大的点 \(n\)。
- 每个节点在序列中出现的次数是其度数减 \(1\)，因此没有出现的就是叶节点。
用 Prufer 序列构造树
根据 Prufer 序列的性质，我们可以得到原树上每个点的度数。
每次我们选择一个编号最小的度数为 \(1\) 的节点，与当前枚举到的 Prufer 序列的点连接，然后同时减掉两个点的度数。重复 \(n-2\) 次后就只剩下两个度数为 \(1\) 的节点，其中一个是 \(n\)，把它们连接起来即可。
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\(\mathcal{O}(n \log n)\) 同样地，显然，使用堆可以做到 \(\mathcal{O}(n \log n)\) 的复杂度。
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\(\mathcal{O}(n)\) 类似地，使用一个指针代替堆找最小值，可以做到 \(\mathcal{O}(n)\) 的复杂度。
具体而言，指针指向编号最小的度数为 \(1\) 的节点。每次将它与当前枚举到的 Prufer 序列的点连接之后，如果产生了新的度数为 \(1\) 的节点且编号比指针指向的更小，则直接继续将它与下一个 Prufer 序列的点连接，否则自增找到下一个编号最小的度数为 \(1\) 的节点。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>using namespace std;const int N = 100010;int n, m;
int f[N], d[N], p[N];void tree2prufer()
{for (int i = 1; i < n; i ++ ){scanf("%d", &f[i]);d[f[i]] ++ ;}for (int i = 0, j = 1; i < n - 2; j ++ ){while (d[j]) j ++ ;p[i ++ ] = f[j];while (i < n - 2 && -- d[p[i - 1]] == 0 && p[i - 1] < j) p[i ++ ] = f[p[i - 1]];}for (int i = 0; i < n - 2; i ++ ) printf("%d ", p[i]);
}void prufer2tree()
{for (int i = 1; i <= n - 2; i ++ ){scanf("%d", &p[i]);d[p[i]] ++ ;}p[n - 1] = n;for (int i = 1, j = 1; i < n; i ++, j ++ ){while (d[j]) j ++ ;f[j] = p[i];while (i < n - 1 && -- d[p[i]] == 0 && p[i] < j) f[p[i]] = p[i + 1], i ++ ;}for (int i = 1; i <= n - 1; i ++ ) printf("%d ", f[i]);
}int main()
{scanf("%d%d", &n, &m);if (m == 1) tree2prufer();else prufer2tree();return 0;
}
