定义

$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 表示 f(x) 函数从 x 到 a 的平均变化率，如果使 x 趋近于 a，则表示函数在 a 点的变化率。

若有以下极限存在（定义域不包含a）：
$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
则称 f 于 a 处可导，并称这个极限为 f 于 a 处的导数，记作：$f^{{}^{\prime }}(a)$，也可记作 ，或者 $\frac{d(f)}{d(x)}(a)$

几何意义

导数可以表示函数的曲线上的切线斜率，如下图：

当 $\Delta x$ 无穷小时，则 P 点趋近于 P0 点，割线 T 的斜率趋于 P0 点切线的斜率，记作：
$$tan\alpha =\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x0+\Delta x)-f(x0)}{\Delta x}$$

常用求导公式

• $(c{)}^{{}^{\prime }}=0$
• $(x^{\alpha }{)}^{{}^{\prime }}=\alpha x^{(\alpha -1)}$
• $sin(x{)}^{{}^{\prime }}=cos(x)$
• $cos(x{)}^{{}^{\prime }}=-sin(x)$
• $tan(x{)}^{{}^{\prime }}=se{c}^2(x)$
• $(a^x{)}^{{}^{\prime }}=a^{x}lna$
• $(e^x{)}^{{}^{\prime }}=e^x$
• $(lo{g}_{a}x{)}^{{}^{\prime }}=\frac{1}{xlna}$
• $(lnx{)}^{{}^{\prime }}=\frac{1}{x}$

基本求导法则

• $(u\pm v)=u^{{}^{\prime }}\pm v^{{}^{\prime }}$
• $(cu{)}^{{}^{\prime }}=c{u}^{{}^{\prime }}$
• $(uv{)}^{{}^{\prime }}=u^{{}^{\prime }}v+u{v}^{{}^{\prime }}$
• $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{{}^{\prime }}v-u{v}^{{}^{\prime }}}{v^2}$
• $(\frac{1}{v}{)}^{{}^{\prime }}=\frac{1}{v^2}$

复合函数求导

若有两个一元函数 $f(x)$、$g(x)$，可以将 $g$ 的函数值作为 $f$ 的自变量，得到一个新的函数称为 $f(x)$、$g(x)$ 的符合函数，记作 $f[g(x)]$，其导数为：
$$f[g(x)]=f^{{}^{\prime }}[g(x)]g^{{}^{\prime }}(x)$$

例如对于 $y=sin(2x)$ 函数求导，可以分解为 $g(x)=2x$，$f(x)=sin[g(x)]$，则：
$$f^{{}^{\prime }}(x)=xcos(2x)$$

偏导数

偏导数是指一个多元函数对其中一个自变量求导，而保持其他变量恒定，记作：
$$\frac{\partial f}{\partial x}$$
例如对于 $f(x,y)=x^2+y^2+2xy$，对 $x$ 求偏导数，可以将 $y$ 看为常量:
$$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x+2y$$

二阶导数

一阶导数表示的变化率，二阶导数则表示该变化率本身是否变化得快。其几何意义则为斜率是否变化得快，从图像上看即曲率或凹凸性。