线性基学习笔记

一、概念

线性基实际上就是维护了一个数组 \(p\)，满足 \(p_i\) 在二进制下的最高位为第 \(i\) 位。

二、实现

现在我们有一个数组 \(a\)，我们要构造他的线性基 \(p\)。

每次插入 \(a_i\) 时，我们都从高位往低位遍历，用以寻找第一个空位插入它。当然，我们也不能直接把原数插入。为了方便查询是否存在该数，每次到达 \(a_i\) 最高位但是 \(p_j\) 已经有值时，\(a_i\gets a_i\oplus p_j\) 。

时间复杂度 \(O(n\log V)\)。

void add(int x){for(int i=52;~i;i--)if(x&(1ll<<i)){if(p[i]) x^=p[i];else return p[i]=x,void();}
}

三、应用

1. 查询当前插入的数值是否能够异或出 \(x\)。
   实际上我们可以理解为插入 \(x\)，能插得进去就说明不能，否则就是可以。

int check(int x){for(int i=52;~i;i--){if((x&(1ll<<i))==0) continue;if(p[i]) x^=p[i];else return 0;}return 1;
}

2. 查询当前数能凑出的异或最大值 \(/\) 最小值。
   最小值就是从小往大枚举第一个 \(>0\) 的 \(p_i\)（都为 \(0\) 的话最小值就是 \(0\)），最大值从大往小枚举，假如异或 \(p_i\) 后 \(ans\) 更大，那么 \(ans\gets ans\oplus p_i\)。

int maxn(){int ans=0;for(int i=52;~i;i--)ans=max(ans,ans^p[i]);return ans;
}int minn(){for(int i=0;i<53;i++)if(p[i]) return p[i];return 0;
}

当然，线性基也可以辅助其他算法或思想（如贪心）使用。