Basic Tips
差分约束，即为存在一个差分约束系统，即类似 \(x_i - x_j \leq k\) 的 \(n\) 元一次不等式组，求出一组解使得该组内所有不等式全部成立，即 \(x_1 = s_1,x_2 = s_2 \dots x_n = s_n\)，否则判无解。
对于满足条件的一个解集 \(\{s_1,s_2,s_3,\dots,s_n\}\)，集合 \(\{s_1 + t,s_2 + t,s_3 + t,\dots,s_n + t\}\) 也满足成为解集的条件。
为何用 spfa 求解？
名副其实，对于每一个不等式 \(x_i - x_j \leq k\)，移项可得 \(x_i \leq x_j + k\)，与 \(\text{spfa}\) 中的三角不等式极其相似，因此可以看做是 \(x_j\) 向 \(x_i\) 连了一条边权为 \(k\) 的有向边，然后就可以用 \(\text{spfa}\) 求解，若过程中存在负环则差分约束系统无解，否则对于 \(s_i = dis_i\) 即为差分约束系统的一个解。
注：\(\text{spfa}\) 跑最长路还是最短路的情况依据推出的差分约束系统不等式的形式，若为 \(x_i - x_j \leq k\)，我们选择最短路，若 \(x_i - x_j \geq k\)，我们选择最长路。
other
\(\text{spfa}\) 中的三角不等式 \(disv \geq dis_u + w\) 的解释。
如图：
\(v\) 为终点，\(u\) 为起点，\(v1\) 为中转点，显然，\(u \to v1 \to v\) 的路径是比 \(u \to v\) 的路径长的，因此 \(\text{spfa}\) 的过程可以看成对于每个点的出边做一次这样的操作。
example
P5960 【模板】差分约束
差分约束模板，根据上文所说的过程实现就行，需要注意的是，在没有保证建出的图联通时，需要从超级源点向每一条点连边。
code
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int MAXN = 5e3 + 10;
int n,m,idx=1,head[MAXN << 1];
int dist[MAXN << 1],cnt[MAXN << 1];
bool vis[MAXN << 1];
struct node{int v,w,nxt;
}edge[MAXN << 1];
inline void add(int u,int v,int w){edge[idx].v = v;edge[idx].w = w;edge[idx].nxt = head[u];head[u] = idx ++;
}
inline bool spfa(int s){memset(cnt,0,sizeof cnt);memset(dist,-0x3f,sizeof dist);memset(vis,0,sizeof vis);queue<int>q;vis[s] = 1;dist[s] = 0;q.push(s);while(!q.empty()){int u = q.front();q.pop();vis[u] = 0;for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nxt){int v = edge[i].v,w = edge[i].w;if(dist[v] < dist[u] + w){dist[v] = dist[u] + w;if(!vis[v]){cnt[v] = cnt[u] + 1;if(cnt[v] > n + 1)return false;vis[v] = 1;q.push(v);}}}}return true;
}
signed main(){ios_base::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);cin >> n >> m;memset(head,-1,sizeof head);for(int i=1;i<=m;i++){int u,v,w;cin >> u >> v >> w;add(u,v,-w);}for(int i=1;i<=n;i++)add(0,i,0);if(!spfa(0))cout << "NO" << endl;else{for(int i=1;i<=n;i++)cout << dist[i] << " ";cout << endl;}return 0;
}
P4878 [USACO05DEC] Layout G
依据题目中给出的条件列出不等式 。
\( \begin{cases} x_i - x_j \leq d1 \\ x_k - x_p \geq d2 \end{cases} \)
然后建边，由于全图不保证联通，因此需要超级源点，从超级源点跑一次 \(\text{spfa}\) 判无解，另外从 \(1\) 号节点跑统计答案，由于题目中默认条件 \(x_i < x_j(i > j)\)，需要将相邻两点连边。
code
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int MAXN = 5e4 + 10;
const int inf = 1e9;
int n,m1,m2,idx = 1,head[MAXN],dis[MAXN],cnt[MAXN];
bool vis[MAXN];
struct node{int v,nxt,w;
}edge[MAXN];
inline void add(int u,int v,int w){edge[idx].v = v;edge[idx].w = w;edge[idx].nxt = head[u];head[u] = idx ++;
}
inline int spfa(int s){memset(dis,0x3f,sizeof(dis));memset(vis,0,sizeof(vis));memset(cnt,0,sizeof(cnt));queue<int>q;dis[s] = 0;vis[s] = 1;q.push(s);while(!q.empty()){int u = q.front();q.pop();vis[u] = 0;cnt[u] ++;if(cnt[u] > n)return -1;for(int i = head[u];i != -1;i = edge[i].nxt){int v = edge[i].v,w = edge[i].w;if(dis[v] > dis[u] + w){dis[v] = dis[u] + w;if(!vis[v]){vis[v] = 1;q.push(v);}}}}if(dis[n] > inf)return -2;return dis[n];
}
signed main(){memset(head,-1,sizeof(head));scanf("%lld %lld %lld",&n,&m1,&m2);for(int i = 1;i <= m1;i ++){int u,v,w;scanf("%lld %lld %lld",&u,&v,&w);add(u,v,w);}for(int i = 1;i <= m2;i ++){int u,v,w;scanf("%lld %lld %lld",&u,&v,&w);add(v,u,-w);}for(int i = 1;i <= n;i ++) add(0,i,0);for(int i = 1;i < n;i ++) add(i + 1,i,0);int tmp = spfa(0);if(tmp <= -1)printf("%lld\n",tmp);elseprintf("%lld\n",spfa(1));return 0;
}
习题
P1993 小 K 的农场
P4926 [1007] 倍杀测量者 利用对数的性质转化成差分约束系统
P2474 [SCOI2008] 天平
P3530 [POI2012] FES-Festival Tarjan 结合差分约束
[ABC087D] People on a Line
