定义
\[\lim\limits_{x \to \infty} \frac {A(x)} {B(x)} = 1 \iff A(x) \sim B(x)
\]
下文中无歧义的情况下，\(\lim\) 代表 \(\lim\limits_{x \to \infty}\)，函数省略 \((x)\)。
性质
\(A \sim B\) 两边可以同时乘除等价的函数。
\(A \sim B\) 两边可以同时求幂。
\[\begin{aligned}& \lim \frac {A'} {B'} \\=& \lim \frac A B & \text{L'Hôpital's Rule} \\=& 1
\end{aligned}\]
在可以洛的前提下，\(A \sim B\) 两边可以同时求导。
\[\begin{aligned}& \lim \frac {\ln A} {\ln B} \\=& \lim \frac {A'/A} {B'/B} & \text{L'Hôpital's Rule}\\=& 1
\end{aligned}\]
在可以洛的前提下，\(A \sim B\) 两边可以同时求对数。
例题
例 1：莫队
\[\begin{aligned}B &\sim \frac n B \\B^2 &\sim n \\B &\sim \sqrt n \\
\end{aligned}\]
例 2：P2801 教主的魔法
令分块块长为 \(B\)，则复杂度最优化则是要解以下方程：
\[\begin{aligned}B &\sim \frac {n \ln B} B \\\frac {B^2} {\ln B} &\sim n \\2 \ln B - \ln \ln B &\sim \ln n & \text{两边同时} \ln \\2 \ln B &\sim \ln n & \text{忽略低阶无穷大}\\n \ln B &\sim \frac {n \ln n} 2 \\B^2 &\sim \frac {n \ln n} 2 & \text{与原式传递} \\B &\sim \frac {\sqrt 2} 2 \sqrt{n \ln n} \\
\end{aligned}\]
例 3
\[\begin{aligned}B \ln B &\sim n \\\ln B + \ln \ln B &\sim \ln n \\\ln B &\sim \ln n \\B \ln B &\sim B \ln n \\B \ln n &\sim n \\B &\sim \frac n {\ln n} \\
\end{aligned}\]
