建立两个平面直角坐标系，一个是固定系\(O\)，另一个是不定系\(O'\)，二者初始状态完全重合，置于一个半径为\(R\)的圆，圆上取其一点v\(\begin{pmatrix} 0& -R\end{pmatrix}^T\)
旋转与平移矩阵——左乘矩阵
矢量u应升级为\(\begin{pmatrix} x& y&1\end{pmatrix}^T\)
1.对于固定系\(O\)而言，矢量u绕\(O\)顺时针\(\theta\)的旋转矩阵\(R\)
\[R=\begin{pmatrix} cos{\theta} & sin{\theta} & 0\\ -sin{\theta} & cos{\theta} & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\]
2.对于固定系\(O\)而言，矢量u沿着\(x\)正方向平移\(dx\)且沿\(y\)正方向平移\(dy\)的平移矩阵\(T\)
\[T=\begin{pmatrix} 1 & 0 & dx\\ 0 & 1 & dy\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\]
摆线方程推导
摆线：圆沿着直线无滑动旋转，圆上固定一点(二维)所形成的轨迹
对于点\(v\)升级（三维）为\(\begin{pmatrix} 0& -R&1\end{pmatrix}^T\)，摆线获取的等价过程：圆绕\(O\)旋转\(\theta\)，再沿\(y\)正方向平移\(R\)，再沿\(x\)正方形平移\(R\theta\)，点\(v\)形成的轨迹即时摆线
摆线轨迹方程\(F:\begin{pmatrix} x& y&1\end{pmatrix}^T\)，有\(F=T*R*v\)，\(\theta∈[0,2\pi]\)
\[\begin{pmatrix} x\\ y\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & R\theta\\ 0 & 1 & R\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} cos{\theta} & sin{\theta} & 0\\ -sin{\theta} & cos{\theta} & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 0\\ -R\\1\end{pmatrix}
\]
故
\[\left\{\begin{matrix}x=R(\theta-sin\theta)\\
y=R(1-cos\theta)
\end{matrix}\right.\]
其实第三阶段可以直接推导出参数方程
