汉明码属于一种具备纠错功能的线性分组码。
在数据传输时，受外界干扰影响，单个比特可能产生差错。汉明码借助添加的冗余监督位，依照特定规则精准判断出错比特位，进而完成纠正，确保信息恢复如初，宛如给数据披上一层“防护甲”，使其即便处于复杂环境，也能维持精准可靠，在通信、存储等众多领域发挥关键作用。汉明码属于一种具备纠错功能的线性分组码。
线性分组码，是将信息序列按特定长度分组（设长度为\(k\)），每组信息位会相应生成一组由信息位与监督位共同构成的码字（设长度为\(n\)，且\(n > k\)），各码字之间遵循线性关系。汉明码的纠错能力使其能够识别并修正传输、存储环节里出现的错误。
在数据传输时，受外界干扰影响，单个比特可能产生差错。汉明码借助添加的冗余监督位，依照特定规则精准判断出错比特位，进而完成纠正，确保信息恢复如初，宛如给数据披上一层“防护甲”，使其即便处于复杂环境，也能维持精准可靠，在通信、存储等众多领域发挥关键作用。
三重码
所谓“三重码”，恰如其字面含义，即重要之事重复三遍。就数据而言，一旦出现数据损坏状况，便可利用其他相关数据修复受损数据。只要出错数量在1个以内，对应的数据便可成功修复。
| 原始数据 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 发送数据 | 000 | 000 | 000 | 000 | 111 | 111 | 111 | 111 |
| 接收数据 | 000 | 001 | 010 | 100 | 111 | 110 | 101 | 011 |
| 还原数据 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
不过，要是出错地方超过2个，就无法修复了（尽管这种概率极低）：
| 原始数据 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 发送数据 | 000 | 000 | 000 | 000 | 111 | 111 | 111 | 111 |
| 接收数据 | 011 | 101 | 110 | 111 | 100 | 010 | 001 | 000 |
| 还原数据 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
但数据出错概率很低，使用三重码需传输三次原始数据，致使传输效率下滑。既然如此，也可适当降低纠错频率。
奇偶校验码
奇偶校验码的工作原理是统计一段二进制数里“1”出现的频次。若这段数中“1”的数量为偶数，校验码是“0”；若为奇数，校验码则是“1”。以下是一个8位的简单示例：
| 原始数据 | 接收数据 | 校验码 |
|---|---|---|
| 0100 1010 | 0100 1010 | 1 |
| 0100 1010 | 0100 1000 | 1 |
在原始数据“0100 1010”中，“1”出现了3次（奇数），所以校验码为“1” 。但在第二个数据里，接收数据“0100 1000”中“1”仅出现2次（偶数），校验码本该是“0”，实际接收的却是“1”，由此可判断该数据有误。
不过，奇偶校验码仅能判断1个以内的错误。因为它仅能体现“1”出现次数的奇偶性，一旦出现2个错误，奇偶校验码就失效了。
依据奇偶校验码特性，还能通过行列定位错误位置。下面是一个16位的例子：
| 实际数据 | 校验码 | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | |
| 校验码 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 错误数据 | 校验码 | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | |
| 校验码 | 0 | 0 | 1 | 0 |
如此，能迅速锁定出错位置。但要是出现2个连续的错误，就没办法定位了：
| 错误数据 | 校验码 | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | |
| 校验码 | 0 | 0 | 1 | 0 |
由于每行校验码均无误，所以难以定位。而且这种方式效率不高，16位数据需8个校验码。于是，查德·卫斯里·汉明发明了——汉明码。
汉明码
有一道知名智力谜题：16杯水中有1杯有毒，怎样用最少的化验次数找出有毒的那杯？
解题思路如下：随机选8杯化验，若有毒，有毒杯子就在这8杯里；若没毒，有毒杯子就在另外8杯之中。接着选4杯化验……如此这般化验4次，直至确定有毒的那一杯。概括来讲，就是错误若不在这一半，那必然在另一半。我们继续用16位数据举例：
| 原始数据 | 校验码 |
|---|---|
| 0100 1010 0100 1000 | 0 |
| 0100 1010 0100 1000 | 1 |
| 0100 1010 0100 1000 | 1 |
| 0100 1010 0100 1000 | 0 |
据此算出“0100 1010 0100 1000”的4位校验码是“0110”。
要是接收数据是“0100 1000 0100 1000”，其校验码是“0000”，与接收的校验码“0110”不匹配，表明接收数据有误。
第1个和第4个校验码无误，说明错误不在这些地方：
0100 1000 0100 1000
第2个和第3个校验码出错，意味着错误同时出现在第2个和第3个校验的位置：
0100 1000 0100 1000
综合上述分析，错误只会在：
0100 1000 0100 1000
所以，正确的数据应为：
0100 1010 0100 1000
然而，这种操作存在一个问题：第1位发生的错误无法检测出来。也就是说，4位校验码能够校验15位数据。此外，还面临一个难题：要是数据没错，但校验码出错，该如何处理？汉明的办法是把校验码与原始数据混合在一起：在11位数据中混入4位校验码。
| 位置 | 位置的2进制值 | 值 | 备注 |
|---|---|---|---|
| 1 | 0001 | 留空 | |
| 2 | 0010 | 留空 | |
| 3 | 0011 | 0 | |
| 4 | 0100 | 留空 | |
| 5 | 0101 | 1 | |
| 6 | 0110 | 0 | |
| 7 | 0111 | 0 | |
| 8 | 1000 | 留空 | |
| 9 | 1001 | 1 | |
| 10 | 1010 | 0 | |
| 11 | 1011 | 1 | |
| 12 | 1100 | 0 | |
| 13 | 1101 | 0 | |
| 14 | 1110 | 1 | |
| 15 | 1111 | 0 |
可以发现，留空位置的二进制值仅有1位是“1”。
计算校验码时，先算出位置二进制值第1位是“1”的奇偶校验码，例如位置“1001”、“1010”，填入第8位；接着算第2位是“1”的奇偶校验码，像位置“0101”、“1110”，填入第4位；再算第3位是“1”的奇偶校验码，如位置“0110”、“1010”，填入第2位；最后算第4位是“1”的奇偶校验码，比如位置“1001”、“1011”，填入第1位。
最终，我们会得到：
| 位置 | 位置的2进制值 | 值 | 备注 |
|---|---|---|---|
| 1 | 0001 | 1 | 留空 |
| 2 | 0010 | 0 | 留空 |
| 3 | 0011 | 0 | |
| 4 | 0100 | 0 | 留空 |
| 5 | 0101 | 1 | |
| 6 | 0110 | 0 | |
| 7 | 0111 | 0 | |
| 8 | 1000 | 1 | 留空 |
| 9 | 1001 | 1 | |
| 10 | 1010 | 0 | |
| 11 | 1011 | 1 | |
| 12 | 1100 | 0 | |
| 13 | 1101 | 0 | |
| 14 | 1110 | 1 | |
| 15 | 1111 | 0 |
要是第5位出错，第1位和第4位校验码会出错。从排列方式可知，要是数据出错，必然导致2个及以上校验码出错，因为数据位置的二进制值不止有1个“1”。若仅有1个校验码出错，那只能是校验码自身有问题。按上述方式，汉明码可纠正1位错误。那出现2位错误呢？可以设置第0位数来表示后面15位数的奇偶校验码：
0100 0100 1101 0010
当后面数据出现1位错误时，第0位能察觉；出现2位错误时，第0位察觉不出，但校验码能发现；如此，汉明码便拥有了纠正1位错误、察觉2位错误的能力。出现2位错误时，虽无法纠正，但能让对方重发消息来纠错。
要是出现三个错误呢？汉明码就检测不出来了。
