atcoder ABC385 部分题解

G - Counting Buildings

简要题义

一个排列的 \(L(P)\) 为 \(\sum_{i=1}^n [premax(i)=P_i]\)，即前缀最大值为自身的位置数，\(R(P)\) 同理为后缀最大值。

有多少个排列使得 \(L(P)-R(P)=k\)

题解

假设 \(n,k\) 是同阶的。

我们从 \(n\) 到 \(1\) 依次插入数，考虑朴素的 DP：设 \(f_{i,k}\) 表示当前填了 \([n-i+1,n]\) 这些数，\(L-R=k\) 的方案数。当插入一个数时，将其放在首位 \(L\) 一定增加 \(1\) ，放在末尾，\(R\) 一定增加 \(1\) ，其余位置，\(L,R\) 不变，有转移：

\[f_{i,k}=f_{i-1,k-1}+f_{i-1,k+1}+(i-2) \cdot f_{i-1,k} \]

设 \(F_i=\sum [x^k] f_{i,k}\)，我们最终求 \([x^k] F_n\) 。

该状态转移可以写成多项式形式，即 \(F_i=(x+(i-2)+\frac{1}{x}) F_{i-1}\) ，那 \(F_n=\prod_{i=2}^n (x+(i-2)+\frac{1}{x})=\prod_{i=0}^{n-2} (x+i+\frac{1}{x})\) 。

负系数不太好维护，改成 \([x^k] F_n=[x^k]\prod_{i=0}^{n-2} (x+i+\frac{1}{x}) = [x^{k+n-1}] \prod_{i=0}^{n-2} (x^2+ix+1)\)。

两个幂次为 \(n\) 的多项式乘法可以在 \(O(nlogn)\) 的复杂度下完成。运用启发式合并的思想，我们每次找到当前次数最小的两个多项式做乘法，每个多项式最多被计算 \(O(logn)\) 次，总的复杂度为 \(O(nlog^2n)\) 。

当然，可以使用分治模拟启发式合并的过程，保证每一个搜索层下，现有多项式的次数都尽可能的平均，也就是模拟了启发式合并。

多项式乘法用 NTT 。

参考代码（分治做法）