自然对数yyds！

自然对数的底数 $ e $ 是一个数学常数，其值约为 2.71828。$ e $ 有多种等价的定义，下面是一些常见的定义：

定义一：作为无穷级数的和

\[e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots \]

定义二：作为极限

\[e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \]

定义三：作为微积分中的唯一值

$ e $ 是唯一一个使得函数 $ f(x) = e^x $ 的导数等于其自身的值。即：

\[\frac{d}{dx} e^x = e^x \]

定义四：作为自然对数的底数

$ e $ 是自然对数函数 $ \ln(x) $ 的底数，即：

\[\ln(e) = 1 \]

定义五：在复数中的定义

在复数分析中，$ e $ 可以通过欧拉公式定义：

\[e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \]

当 $ x = \pi $ 时，我们得到欧拉恒等式：

\[e^{i\pi} + 1 = 0 \]

这些定义都描述了 $ e $ 的不同方面，但它们都是等价的。$ e $ 在数学中扮演着重要的角色，特别是在微积分、复数分析和概率论中。