4 跨音速

4 跨音速

基本

升力的基本计算公式为：\(L=\frac{1}{2}\rho_{\infty}V_{\infty}^{2}Sc_{l}\)

对于二维翼型升力系数\(c_l\)而言，它直接和机翼截面几何结构相关，即随翼型弯度增大、厚度-弦长比增大而增大。

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但是，不同的翼型能产生较高升力所需的自由流速度不同：

• 厚、有弯度（thick and cambered）的翼型，低速性能更好，即在自由流速度更低的情况下，能产生更高升力；
• 薄、对称（thin and symmetrical）翼型，虽然需要在更高的自由流速度下才能产生较高升力，但是其阻力更低，因此其高速性能更好。

这里就要说到阻力的主要组成了。

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1. 黏性阻力（viscous drag）：占比约55%，主要由表面摩擦阻力+压力阻力组成。

   • 表面摩擦阻力（skin friction drag）：由于飞机表面与空气摩擦产生的阻力，正比于表面面积（或浸润面积）。
   • 压力阻力（pressure drag）：由于流动分离造成的阻力，正比于迎风面积（或正面面积，frontal area）。

2. 升力诱导阻力（lift induced drag）：占比约35%。

   有限翼展的机翼在产生升力的同时，会在翼尖处产生涡流，涡流诱导产生的下洗气流使得升力方向略微向后倾斜，从而产生一个与飞行方向相反的阻力分量，这个阻力就是升力诱导阻力。

   （此事在笔记2 升力线理论中亦有记载，欢迎回顾查看）

3. 波阻力（wave drag）：高速飞行会在机翼上形成激波，激波带来阻力。

NACA机翼

4系列

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这一系列翼型的最大厚度固定在前缘附近，约30%弦长处。

• 其压力分布特征为：前缘附近出现最小压力点，然后从该点到后缘，压力（绝对静压-自由流静压=表压）逐渐增加，这种压力梯度叫逆压梯度（adverse pressure gradient；相反，如果压力从前往后越来越小，就是顺压梯度了）。

• 这样，边界层内的流体除了要克服黏性阻力，还要克服逐渐升高的静压，导致流体动能不断损失。

• 此时，边界层内流体速度将进一步降低，低速的流体层堆积在一起，导致边界层变厚。

• 由于低速流体对扰动的抵抗能力差，表面粗糙度、流动中的脉动等微小扰动容易被放大。

• 当逆压梯度足够强，耗尽了低速层内的流体动能时，流体无法继续前进，会出现回流，导致边界层和物体表面分离。

• 分离后的流动非常不稳定，很快就会形成大量旋涡，最终发展成湍流。

边界层和摩擦阻力

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从这张大二的图中可以看出，湍流边界层在壁面附近的速度梯度，远大于层流边界层。

这是因为湍流边界层内存在大量的漩涡，增强了动量交换，使得靠近壁面的流体速度更大。

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用公式描述：

\[\begin{equation}\left(\frac{du}{dy}\right)_{\mathrm{w,Turbulent}}>\left(\frac{du}{dy}\right)_{\mathrm{w,Laminar}} \end{equation} \]

又由壁面切应力定义：

\[\begin{equation}\tau_w=\mu(\frac{du}{dy})_w \end{equation} \]

可知\(\tau_{\mathrm{w,Turbulent}}>\tau_{\mathrm{w,Laminar}}\)

表面摩擦阻力系数\(c_f\)定义为：

\[\frac{\tau_{w}}{0.5\rho U_{\infty}^2} \]

可知\(c_{f_{\text{w,Turbulent}}}>c_{f_{\mathrm{w,Laminar}}}\)。

这里需要注意几个影响边界层从层流到湍流的转捩（transition）的因素：

• 表面粗糙度（surface roughness）：扰乱边界层内的流动；

• 自由来流的湍流度（free stream turbulence）；

• 逆压梯度；

• 表面加热（surface heating）：由于气动摩擦造成壁面温度升高，靠近壁面的气体密度降低，降低流体运动黏度（密度下降比动力粘度升高速度快，惯性力作用相对黏性力更大，流动更不稳定，更容易转捩）；

  加剧逆压梯度影响（流体密度更低，减速更快，更容易流动分离）；

  并通过改变边界层内的温度、密度分布，影响边界层厚度与稳定性，间接影响转捩。

6系列

该系列翼型也叫层流翼型（laminar aerofoil），其设计目的是：在翼型的大部分区域维持层流边界层。

因此相对4系列翼型（标准翼型），最低压力点（或吸力峰值，suction peak）会在机翼的上下两个表面都后移。

通常，用6位数字指定该系列翼型的设计特征：

• 第1位：6，表示6系列

• 第2位：最低压力点在弦长的十分之几处

• 第3位（以下标形式呈现）：在设计升力系数上下波动该数值（以0.1为单位）的范围内，翼型上下表面均能保持顺压梯度。

  1. 为了增大升力系数，通常需要增大迎角。

  2. 较大的迎角会使得翼型上表面的流线曲率更大，气流需要先加速（更低压力），再减速（更高压力），导致更强的逆压梯度。

  3. 如前所述，逆压梯度是导致边界层内流动分离的主要原因。

  4. 因此，在增大迎角以提高升力系数的同时，需要通过翼型设计（例如控制压力分布，保持一定范围的顺压梯度）来尽量避免或延缓流动分离，以减小阻力并避免失速。

• 第4位：设计升力系数为十分之几

• 第5、第6位：最大厚度处在百分之多少的弦长

如：\(\text{NACA}~64_1-212\)翼型，其最低压力点在0.4倍弦长处，在设计升力系数上下0.1范围内能维持顺压梯度，设计升力系数是0.2，最大厚度处在0.12倍弦长处。

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如上图所示，NACA 66-012机翼的最大厚度位于机翼中部；

最小压力点在接近后缘位置，且从机翼前缘到最小压力点，有一段压力持续下降的区域。

这说明，这种翼型设计降低了沿流动方向的静压（顺压梯度），有利于维持层流边界层、延迟流动分离，进而减少摩擦阻力。

但是这种翼型受到一些因素限制：

• 为追求高速，采用后掠翼设计，但是：

  1. 由于机翼后掠角，产生一个垂直于机翼弦向/沿翼展方向流动的横向流动（coss flow）分量，导致边界层内产生横向流动不稳定性，形成一系列的横流涡，而不稳定的涡会促进转捩；
  2. 后掠翼前缘附近的压力分布、横向流动，会导致T-S波（Tollmien-Schlichting）发展，是由流体黏性引起的，在层流边界层内的一种不稳定性流动。

• 传统的铝制机翼有许多接头和铆钉，会导致表面粗糙，扰动边界层内流动，促进转捩。

跨声速飞行

阻力

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随着马赫数的增加，在来流相对速度达到跨音速附近，由于翼型上存在较大的超音速流动区域，阻力大幅增加，该区域以激波结束。

激波导致波阻迅速增加，因此飞机的巡航速度受阻力快速上升的限制。

这一部分的笔记在1.2 可压缩流：激波和膨胀波的正激波部分亦有记载，正激波的形成机制请参见那一部分。

定义：

• 当飞行速度增大到一定程度，机翼表面最低压力点的气流速度等于该点的声速，该点称为等声速点，此时的飞行速度称为临界速度\(V_{cr}\)，临界速度与该飞行高度的声速之比为临界马赫数（critical Mach number）\(Ma_{cr}=\frac{V_{cr}}{c}\)；
• 自由流马赫数高于某个值时，阻力系数开始快速上升（要求斜率\(\frac{dC_D}{dM}=0.1\)），此时的马赫数为阻力发散马赫数（drag-divergence Mach number）\(M_{DD}\)。

下面讨论自由流马赫数从低到高情况下的流动。

1. \(M_{\infin}=0.5\)​

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   此时整个翼型上的流动都是亚音速的。

2. \(M_{\infin}=0.72\)

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   定义该翼型临界马赫数为0.72.

   此时最低压力点处的气流速度达到声速。

3. \(M_{\infin}=0.77\)

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   来流马赫数超过临界马赫数，在翼型表面形成超声速流动区，上表面出现局部正激波，正激波后的流动是亚音速的。

   这里简述一下正激波形成机制：局部超音速区——后缘气压较低（接近大气压），逆压梯度—— 向前传播的压力波 —— 传播速度等于迎面的局部超音速气流速度，此处形成正激波。

4. \(M_{\infin}=0.82\)

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   上表面激波向后移动，强度更大，下表面出现激波。

5. \(M_{\infin}=0.95\)

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   自由流马赫数接近1，两个激波都移动到机翼后缘处，整个表面的流动都是超音速的。

6. \(M_{\infin}=1.05\)

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   机翼前缘前方出现弓形激波，后缘激波变成斜激波，构成音爆 （关注进藤天音谢谢喵） 的基础，这里将在超声速一课进一步讲解。

翼型设计

现代大型客机需要尽可能让飞行速度接近马赫数1，同时尽量避免跨音速阻力的增加。

有如下几种方法：

1. 修改机翼剖面

   • 最大厚度（大小和位置）
   • 翼型形状

2. 修改机翼平面形状，后掠

3. 修改飞机外形，面积律（蜂腰）

薄翼型

为什么跨音速翼型需要更薄呢？

• 提高临界马赫数；
• 提高阻力发散马赫数。

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如图，基本上设计巡航马赫数越高，机翼越薄。

当然，考虑到维持机翼结构强度，并为油箱留空间，机翼厚度不能太薄，有一个极限。

NACA 6A翼型

相对6系列翼型，6A取消了后缘尖点（trailing edge cusp，翼型后缘处一个尖锐的、向内弯曲的形状，由于难以加工、尖点本身容易触发湍流而取消）。

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这种翼型的主要特征：

1. 前缘半径小；
2. 整个上表面具有连续曲率，没有明显拐点；
3. 后部弯曲度小。

压力分布的特点：

1. 流动持续加速到激波处；
2. 激波强度高；
3. 由于后部弯曲度（aft camber）较小，翼型后部压力差较小，因此对升力的贡献较小。

注意：和早期的NACA翼型相比，6A系列翼型通过把最大厚度位置后移，激波位置后移、强度减弱，减小了波阻。

现代超临界翼型：NACA 8系列

超临界机翼的设计目的，是让临界马赫数变化不大的同时，尽量增大阻力发散马赫数，即增大二者之间的间隔。

其设计关键是，控制气流的膨胀（到超音速），以及其后的再压缩。

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其机翼形状特点为：

1. 前缘半径较大，减缓上翼面加速程度，推迟激波出现，并增加翼型有效迎角范围；
2. 上表面曲率较低（快成平的了），同样用于减缓气流加速；
3. 后缘弯曲较大，补偿由于上表面较平坦导致的升力损失。

其压力分布特点为：

1. 压力分布更“饱满”（filled out），即在压力分布曲线下的面积更大，压力差更大，升力更大；
2. 激波强度较弱，有利于减小波阻；
3. 由于后部弯度较大，翼型后部压力差较大，后部载荷较高。

注意：由于早期数值计算的精度限制、实验数据处理问题，NASA（原文如此，实际应为NACA？）超临界翼型的压力分布曲线和翼型形状数据存在波动、不光滑，即“嘈杂”（noisy）。

超临界翼型产生更大升力的机制为：

• 超临界翼型后缘弯曲使得下表面后缘处流动膨胀减速、静压增大；

• 同时，平坦的上表面设计使得气流在上表面保持较长时间的加速状态，压力较低，直到接近后缘处才开始减速，延缓了上表面后缘处的压力恢复。

• 这两个因素共同作用，导致机翼后部上下表面压差显著增大，从而产生了更大的升力，这部分升力就称为“后加载”（aft load，或尾部载荷）。

此外，在低速下，由于其较大的前缘半径、特殊的压力分布，超临界翼型也可以在低速下产生更大的升力、保持较低的阻力。

但是，后部弯度会带来一定缺点：

• 它使得翼型后部升力贡献较大，但这个升力作用点靠后，带来负的零升力俯仰力矩（或低头力矩）；
• 为此，需要增大平尾迎角，产生一个抬头力矩，但平尾产生升力的同时也会带来阻力，称为配平阻力（trim drag）。

跨声速翼型的计算

为估算机翼跨声速性能，可使用Korn关系式，建立马赫数、升力和厚度之间的关系：

\[\begin{equation}M_{DD}+\frac{c_l}{10}+\left(\frac{t}{c}\right)=\kappa_A \end{equation} \]

其中，\(\kappa_A\)是翼型技术因子（aerofoil thchnology factor），对于传统翼型（如NACA 6A）为0.87，对超临界翼型为0.95.

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可以看出，对于给定的翼型厚度，对于超临界翼型，其阻力发散马赫数更高；

此外，阻力发散马赫数明显和厚度成反比，因而临界马赫数也和厚度成反比。

后掠翼

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后掠翼将气流分解成平行（于后掠翼前缘的）分速和垂直分速，其中仅垂直分速\(M_n\)（这里用的是马赫数）对机翼压力分布起决定性影响。

这样，当自由流马赫数到1的时候，翼型受到的有效分速/垂直分速仍然小于1马赫，因此说：后掠翼飞机可以在遇到阻力发散之前，以更高的马赫数飞行。

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可以看到，后掠角的存在不仅增大了临界马赫数和阻力发散马赫数，还减小了最大阻力系数。

我们可以对式3，即Korn关系，加入后掠角影响：

\[\begin{equation}M_{DD}=\frac{\kappa_A}{\cos\Lambda}-\frac{(t/c)}{\cos^2\Lambda}-\frac{c_l}{10\cos^3\Lambda} \end{equation} \]

这样，我们也可以计算出临界马赫数。

由于阻力发散马赫数的定义为：\(\frac{\partial C_D}{\partial M}=0.1\quad\mathrm{at}\quad M=M_{DD}\)；

并引入一个新公式，洛克提出的基于经验的阻力上升形状（Lock's proposed empirically-derived shapre of the drag rise）：

\[\begin{equation}C_D=20\left(M-M_{\alpha}\right)^4 \end{equation} \]

易得：

\[\begin{equation}\frac{\partial C_D}{\partial M}=0.1=80\left(M_{DD}-M_{\alpha}\right)^3 \end{equation} \]

\[\begin{equation}M_{cr}=M_{DD}-\left(\frac{0.1}{80}\right)^{1/3}\longrightarrow\quad M_{cr}=M_{DD}-0.11 \end{equation} \]

下一步，计算后掠翼的升力系数：

\[\begin{equation}L=0.5\rho_{\infty}V_{\infty}^{2}S\left(\frac{dC_{L}}{d\alpha}\right)_{\Lambda=0}\cos\Lambda(\alpha-\alpha_{L=0}) \end{equation} \]

\[\begin{equation}\frac{dC_{L}}{d\alpha}=\left(\frac{dC_{L}}{d\alpha}\right)_{\Lambda=0}\cos\Lambda \end{equation} \]

注意，随着后掠角增大，\(\cos \Lambda\)减小，为维持升力不变，需要更大的机翼面积，因此后掠翼会更重；

此外，由于平行分速和垂直分速都会产生阻力，后掠翼的升阻比会相对较低。

机身设计

根据惠特科姆面积律（Whitcomb's area rule），对于小展弦比机翼和细长旋成体机身的组合体，在跨声速阶段的零升波阻系数增量\(\Delta C_{x0}\)，在一定条件下，主要取决于组合体横截面积（即迎风面积）沿着机身纵轴方向的分布，而和组合体的外形无关。

或简述为：在跨音速飞行时（Ma ≈ 1），飞行器波阻的大小主要取决于其横截面积沿飞行器纵轴方向的变化率，而不是其外形的局部细节。

这样做的物理意义为：降低沿飞机长度方向的面积梯度，避免流体在某段猛然“挤”或“膨”，急剧的横截面积变化会导致流体出现显著的压力梯度，从而产生明显的激波并带来巨大的波阻。

下面举两个例子作说明。

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把机身中段向里收缩，修形成蜂腰形，使得组合体横截面积轴向分布更平顺光滑，和不足很小的细长旋成体差不多，可以大大降低零升波阻。

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在机翼和尾翼的区域，机身的横截面积应该减小以补偿机翼和尾翼横截面积的增加。这导致了“可乐瓶”（coke bottle）形状的机身。

当然，还有其他设计帮助减小激波阻力：

• 反激波体（anti-shock bodies）：安装在机翼上表面的小型、流线型突起，通过局部改变机翼形状，产生较弱的预压缩波，减弱原有激波强度，推迟或抑制激波诱导分离；

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• 波音747通过加长驾驶舱，应用了面积律，以延迟跨音速阻力发散的开始。

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