省选博弈专题

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A Chess Game

SG函数模板题

[AGC016F] Games on DAG

先手必胜方案数 \(=\) 总方案 \(-\) 先手必败方案 \(=\) \(2^m-\sum_G[SG(1)=SG(2)]\)

问题转化到计数 \(1,2\) 号点 SG 函数值相同的方案数，考虑 SG 函数的一些性质（本质上是 \(\operatorname{mex}运算符\)）设一个点的 SG 值等于 \(x\) 则它一定向 SG 值为 \([0,x)\) 的点连有边（每个值至少连一条），不会向 \(x\) 的点连有边，对于 \((x,+\infty)\) 则无限制。这启示可以使用分层图去刻画整个图的局面（每层图中的点 SG 值相等），并且只要使得 \(1,2\) 号点在同一层即可，这个东西是可以通过 \(O(3^n)\) 枚举子集来做的。

具体的设状态 \(f_S\) 表示只考虑 \(S\) 这个点集的点导出子图的合法方案，每次转移枚举子集 \(T\)，然后将子集的 \(T\) 所有点的 SG 值 \(+1\)，然后 \(T\) 中的每个点至少向 \(T\) 在 \(S\) 中的补集合中连一条边。

时间复杂度为 \(O(n3^n)\)，有 \(O(3^n)\) 的爆标做法，先咕咕咕。

[AGC014D] Black and White Tree

手模发现，先手一定能牵着后手的鼻子走，考虑这样一种决策，先手每次在上次操作隔一个的位置操作（叶子节点下方视作有一个白点），否则无意义，则后手只能选择那一个隔开的位置。

所以可以将先后手操作看做一个二元组，这个二元组必须相邻，如果最后能将这个树铺满二元组则后手必胜，否则先手必胜。

注意到如果能合法，则合法方案只会有一种（证明考虑从叶子边界往上填），所以 dfs 一遍即可。

时间复杂度 \(O(n)\)。

[AGC002E] Candy Piles

先按降序排序，考虑转化为有向图游戏，即对于排序后的楼梯形从左下角只能向上或向右走是否有必胜策略，手模发现在一条对角线上点的状态是相同的，考虑证明，假设有一个败态，则它的下方和左方都是胜态，而这两个胜态又会在败态的左下方带来一个败态，这是能递推生成的（证明得很奇怪，感觉不如用数学归纳法）。所以可以直接移动到边界，然后去计算边界的状态。

[AGC010D] Decrementing

考虑问题的弱化版本，如果没有整体除 \(\gcd\) 怎么做，显然若 \(s-n\) 是奇数则先手胜，否则后手胜。

那么考虑先手是否有能一直维持 \(s-n\) 奇偶的策略。注意到一个事实，若整体除一个奇数则不会影响 \(s-n\) 的奇偶，所以先手只要每次保证序列中至少有两个奇数即可（初始状态一定能有一个奇数），所以只要 \(s-n\) 为奇数则先手必胜。

考虑若初始 \(s-n\) 为偶数的情况，还是站在先手的视角，考虑是否能调整为对方 \(s-n\) 为偶数的状态，回到刚才的事实，只有整体除一个偶数才能影响奇偶，所以先手一定是选取唯一（否则就输了）的那个奇数减一，然后游戏继续，由于后面的情况是不确定的，所以得递归下去模拟一遍，由于每次都会除一个数，所以时间复杂度为 \(O(n\log V)\)。

[AGC029D] Grid game

注意到先手者必须一直行动，那么问题变成一个关于后手者的贪心问题，由于求最小，直接暴力模拟即可做。