傅里叶级数

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傅里叶级数的公式：

 其中：

 为了积分方便，积分区间一般设为[-π, π]，也相当一个周期T的宽度。

１、把一个周期函数表示成三角级数：

　　首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为：

 这里 t  表示时间， A 表示振幅， w 为角频率， Ψ为初相（与考察时设置原点位置有关，可以理解为一个常量）。

然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。傅里叶就想，能否用一系列的三角函数

 之和来表示那个较复杂的周期函数 f(t) ？因为正弦函数 sin 可以说是最简单的周期函数了。于是，傅里叶写出下式：

 这里，t是变量，其他都是常数。与上面最简单的正弦周期函数相比，5式中多了一个n，且n从1到无穷大。这里f(t)是已知函数，也就是需要分解的原周期函数。从公式5来看，傅里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加，这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量（即式中An）、有不同的周期或说是频率（是原周期函数的整数倍，即n）、有不同的初相角（即

 ），当然还有一项常数项（即

 ）。要命的是，这个n是从1到无穷大，也就是是一个无穷级数。

这里强调一下，傅里叶级数中对不同频率的波有一个要求就是给定一个初始的频率

 

,之后的角频率必须是

 

的整数倍， 这就是DTF（离散傅里叶变化）中的角频率取值的原则。