CF1765C Card Guessing
Description
有 \(4\) 种花色的牌，每种牌均为 \(n\) 张，则牌的排列⼀共有 \((4\cdot n)!\) 种。
现在你从牌堆中逐张地取出牌，取牌之前你都会猜这张牌是什么花色。你会根据之前的 \(k\) 张牌中出现最少的花色来猜这张牌。
如果有多种花色都是最少的，你随机地猜一种。
如果之前抽出的牌不足 \(k\) 张，就按之前的所有牌中的最少花色来猜。
问你猜对的期望次数是多少？
Solution
令 \(m=4n\)。设 \(m\) 个随机变量 \(X_1,X_2,...X_m\)，\(X_i\) 取值为 \(1\) 表示第 \(i\) 次猜对，否则没有猜对。
那么我们求的是：
\[E(\sum X_i)=\sum E(X_i)=\sum P(X_i=1)
\]
独立地求出每一次猜对的概率，加和即为答案。
考虑概率转计数。设 \(L=\min(i-1,k)\)，那么题意转化为：
- 对每一个 \(i \ (1\leq i \leq m)\) 求：有多少个序列，使得 \(i\) 的花色等于 \(A_{i-L} \sim A_{i-1}\) 中出现次数最少的数字。
首先考虑如何计算答案。设这 \(L+1\) 个数字组成的序列数量为 \(B\)，那么对应的概率为：
\[\dfrac{B \times (m-L-1)!}{m!}=\dfrac{B\times (m-L-1)!}{(m-L-1)!A_{m}^{L+1}}=\dfrac{B}{A_{m}^{L+1}}
\]
现在我们的答案只和这 \(L+1\) 个数字有关。
枚举这 \(L\) 个数字中出现次数最少的数字出现了几次。由于每个数字出现个数被 \(n\) 限制，不易直接用组合数求解，那么考虑 dp 求解：
设 \(f_{i,j,l}\) 表示考虑到第 \(i\) 种花色，选了 \(j\) 张牌，最小出现花色为 \(l\) 的方案数。有转移：
\[f_{i,j,l} \times \binom{n}{t}\times\binom{j+t}{t} \times t! \rightarrow f_{i+1,j+t,\min(j,l)}
\]
