题解：P11600 『Fwb』流星の陨落

『Fwb』流星の陨落

题目描述

流星雨来了！

当然，这场流星雨确确实实是 Fwb 设计的。Fwb 在天空中放置了许多的流星，同时也在地面上放置了许多的烟花。当流星和烟花发生碰撞时，就会出现美丽而独特的风景。

由于方便控制流星雨的发射，流星的发射是有规律的，这个发射的规律叫做流星间隔。我们把地面上烟花的摆放看作一个数轴，若流星间隔是 \(k\)，那么在 \(i\) 位置发射一颗流星后，下一个发射流星的位置必须是 \(i+k\)。特殊的，第一个发射流星的位置必须是 \(1\)。

为了使流星雨好看，保证每一个烟花都会和流星碰撞，即每一个烟花的位置都会有流星发射。但不保证每一个流星都有可碰撞的烟花。为了尽可能减少资源消耗，发射的流星应在满足条件的前提下最少，现在想请你算出，发射的流星雨中最少有多少颗流星以及此时的流星间隔是多少。

输入格式

输入的第一行包含一个正整数 \(n\)，代表地上共放置了 \(n\) 个烟花。

第二行共 \(n\) 个正整数，代表烟花在数轴上的位置 \(a_i\)（保证 \(a_i\) 递增）。默认最后一个烟花的位置为数轴的尽头，即保证在位置 \(i\)（\(i>a_n\)）不会再有流星发射。

输出格式

输出共一行，包含两个正整数，分别表示流星雨中最少的流星数量以及此时的流星间隔。

样例 #1

样例输入 #1

5
1 3 5 7 9

样例输出 #1

5 2

样例 #2

样例输入 #2

7
10 13 19 301 304 307 3004

样例输出 #2

1002 3

样例 #3

样例输入 #3

3
2 1000000 1234567

样例输出 #3

1234567 1

提示

【样例 1 解释】

当流星间隔为 \(2\) 时，流星会发射在 \([1,3,5,7,9]\) 的位置，恰好覆盖所有的烟花。此时发射的流星数量最少为 \(5\)。

【数据范围】

对于所有的测试数据，保证：

• \(1\le n\le 10^5\)。
• 对于任意的 \(i\)（\(1\le i\le n\)），都有 \(1\le a_i\le 10^9\)。

测试点	\(n=\)	\(a_i\le\)	特殊性质
\(1\)	\(1\)	\(10\)	无
\(2\)	\(10^5\)	\(10^9\)	A
\(3,4\)	\(10^5\)	\(10^9\)	B
\(5,6,7\)	\(10\)	\(10^9\)	C
\(8,9,10\)	\(10^5\)	\(10^9\)	无

特殊性质 A：保证 \(a_i=a_{i-1}+1\)（\(1<i\le n\)）。

特殊性质 B：保证 \(a_i-a_{i-1}=a_{i+1}-a_i\)（\(1<i<n\)）。

特殊性质 C：保证至少出现一次 \(a_i-a_{i-1} \le 10^4\)（\(2\le i\le n\)）。

题目保证不出现 \(n=1\) 且 \(a_1=1\) 的情况。

前言

比较简单，怎么感觉比 T1 简单（？

思路

求最少需要的流星可以转化为求最大可能的间隔。

发现最优策略是间隔取相邻烟花距离的最大公因数。

然后流星数用等差数列项数公式求得，即设首项为 \(x\)（本题为 \(1\)），尾项为 \(y\)，公差为 \(d\)，项数为 \(\dfrac{y - x}{d} + 1\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int last = 1,x;
int main()
{int n;cin >> n;int t = 0;for(int i = 1;i <= n;i++){cin >> x;if(x == last){continue;}if(t == 0){t = x - last;last = x;continue;}t = __gcd(x - last,t);last = x;}cout << (x - 1) / t + 1 << " " << t;return 0;
}