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题目：奥运奖牌榜模型与“伟大教练”效应量化分析研究

摘要
随着奥运会的全球影响力不断增大，准确预测奥运奖牌分布以及评估教练对运动员成绩的影响成为体育科学研究的重要课题。本研究旨在通过数据驱动的方法，建立一个高精度的奥运奖牌预测模型，并量化“伟大教练”效应，为各国体育战略规划和教练资源配置提供科学依据。针对问题1，本研究首先对原始数据进行预处理包括差集分析补充未获奖牌的国家、项目数据清洗、数据合并以及主办国标识与国家运动项目统计以及国家名称规范化，采用CatBoost算法对缺失值进行填充；接着整理相关特征包含每年对应的奥运项目类型数、奖牌数、国家编码、历年奖牌分布、主办国标识、各运动项目参与情况等，以每个国家每年金、银、铜牌的获奖数为因变量，其他特征为自变量，将数据拆分训练集和测试集；在此基础上建立了基于长短期记忆网络（LSTM）的深度学习模型，并采用智能鱼群算法（AFSA）对模型的超参数进行优化。通过AFSA优化参数后，在测试集上模型的决定系数达到了0.875，显示出较强的预测能力。通过蒙特卡洛模拟和置信区间量化了预测结果的不确定性，基于该模型预测了2028年洛杉矶夏季奥运会各国奖牌的数量，并针对这些奖牌数进行了不确定分析，得出了相应的预测区间，结果表明美国依旧是奖牌榜的第一名，金、银、铜牌分别为39、45、43，总奖牌数主场优势对比2024年增加了1枚，同时分析了哪些国家的成绩最有可能提高，哪些国家的成绩会比2024年差，以及预测首次获得奖牌的国家，具体结果详见4.3.3。通过前面的差集分析补充的未获奖国家，模型也进行了预测并评估哪些国家可能在2028年首次获得奖牌，并预估概率，预估概率可以通过回归值套入激活函数如sigmoid求得，其中有10个国家是2024年没获奖但是2028年能获得奖牌，但是如果口径扩大至历史上，这些国家历史上都曾获得过奖牌，因此没有一个之前没获奖的国家能获得2028年获得首枚奖牌，此概率为64.35%；为了探索奥运会项目与各国获奖数量之间的关系，使用SHAP模型对AFSA-LSTM模型进行解析，进而分析不同奥运项目对国家奖牌成绩的影响，从结果来看田径和游泳对金牌的预测贡献最为显著，紧随其后的是摔跤、体操和射击，它们对银牌和铜牌的影响则更为突出，体现了各国在这些传统强项中的优势。此外东道国在奖牌预测中也表现出了重要作用，特别是对于主办国的奖牌数通常会因为主办国的支持和资源优势而得到额外的提升，尽管一些项目如举重和皮划艇在奖牌预测中的影响较小，但这些项目仍然对某些国家的奖牌分布起到一定作用，最后基于美国的数据，对其2028年金、银、铜牌的SHAP值进行了分析，其中田径和游泳项目依旧是美国的核心贡献项目，此外摔跤、击剑、射击和排球等项目的贡献也不可忽视。

针对问题2，本研究通过假设检验方法量化“伟大教练”效应，具体通过配对样本t检验评估刘国梁执教前后中国男子乒乓球队奖牌数的显著性变化。结果表明刘国梁执教后，中国男子乒乓球队的奖牌数发生了显著性（P<0.05）变化，支持“伟大教练”效应的存在，进一步通过回归分析量化“伟大教练”效应对奖牌数的影响，结果显示刘国梁执教对中国男子乒乓球队的奖牌得分有显著影响，其执教使球队的奖牌得分平均增加9分。基于此效应值，结合其他国家的平均奖牌数，预测了不同国家在投资“优秀”教练后的奖牌增长情况，并提出了针对教练投资回报的战略建议。
最后，本研究对建立的模型进行全面评价。
关键词：数据预处理，CatBoost，AFSA优化，LSTM模型，假设检验，回归分析，教练效应
一、问题重述

在当今全球化与体育竞技高度发展的今天，奥运会作为全球最具影响力的体育盛事，不仅是运动员展示才能的舞台，更是各国体育实力、综合国力以及文化影响力的重要体现。奥运奖牌榜作为衡量各国在奥运会中表现的关键指标，受到广泛关注。对奥运奖牌榜的深入分析与建模，不仅有助于预测未来奥运会的奖牌分布趋势，还能为各国体育战略规划、资源分配以及人才培养提供重要参考。此外，随着体育全球化进程的加速，教练员的跨国流动现象日益普遍，其对各国体育成绩的影响也值得深入探究。通过对奥运奖牌榜及相关因素的全面分析，可以更好地理解体育竞技背后的复杂动态，为推动体育事业的健康发展提供有力支持。
二、问题分析
针对问题1，为预测每个国家在奥运会上的奖牌数，并对预测的不确定性进行估计，首先对数据进行预处理，由于summerOly_medal_counts数据缺乏没获奖的国家，可以通过差集分析补充未在奖牌数据中出现的参赛国家，并对项目数据进行清洗，包括标准国家命名、填补缺失值、删除无关字段、转置数据、合并连接等操作形成完整数据集，可以增加一列标识当届奥运会主办国，并统计每年各国在各项目中的奖牌情况，形成可以推送进行预测的数据集，整理后特征包含每年对应的奥运项目类型数、奖牌数、国家编码、历年奖牌分布、主办国标识、各运动项目参与情况等。接着以每个国家每年金、银、铜牌的获奖数为因变量，其他特征为自变量，将数据拆分训练集和测试集，可以通过单输出机器学习回归模型如决策树、随机森林模型，也可以通过多输出机器学习回归模型如Seq2Seq模型、LSTM模型来处理奖牌预测任务，进行奖牌数的预测。为了保证模型效果，可以使用一些启发式算法对模型的超参数进行优化，调整模型超参数，通过R²等指标进行模型评估，从而提高其预测性能和泛化能力。针对预测值的不确定性分析，采用蒙特卡洛模拟结合置信区间量化模型预测的可靠性，通过引入随机扰动对输入数据进行多次采样，生成N组预测值，并计算预测分布的均值与标准差。构建好最优模型后，投入全部数据重新训练，在预测2028年时，需要根据2028年洛杉矶奥运会新增项目对相关特征进行调整，剔除俄罗斯等不参赛的国家，得到奖牌榜与其置信区间，进而分析各国成绩的升降；通过前面的差集分析补充的未获奖国家，模型也进行了预测并评估哪些国家可能在2028年首次获得奖牌，并提供预估概率，预估概率可以通过回归值套入激活函数如sigmoid求得；最后可以通过特征重要度或者可解释机器学习分析奥运项目对奖牌成绩的影响。

问题2采用假设检验和回归分析的方法，其中假设检验用于判断执教前后奖牌数是否有显著差异，回归分析用于量化教练变动对奖牌数的影响，具体可以从数据集中筛选出特定教练执教前后的数据，并计算奖牌得分。然后，构建“是否执教”变量，将数据划分为执教前和执教后的两部分。接着，使用配对样本t检验来检验执教前后奖牌数的显著性变化。通过计算t统计量和p值，判断是否拒绝原假设，从而确定“伟大教练”效应的显著性。通过回归分析量化“伟大教练”效应对奖牌数的影响。根据回归结果，选择参赛人数较多且奖牌数有提升潜力的国家，作为投资“优秀”教练的优先对象。最后，通过预测模型，估计这些国家在投资“优秀”教练后的奖牌增长情况，为教练投资提供战略建议。
三、模型假设

假设数据集中不存在系统偏差，即数据能够真实反映各国在不同奥运会中的奖牌表现情况。
三、模型假设
① 假设数据集中不存在系统偏差，即数据能够真实反映各国在不同奥运会中的奖牌表现情况。

② 在进行奖牌预测时，假设各国在不同奥运会中的表现受到的外部因素（如国际体育赛事规则变化、全球经济形势等）影响相对稳定，或者这些因素的影响已在数据中得到体现。
③ 假设在进行2028年预测时，部分特殊（如2028年的运动员）可默认为2024年相同的运动员，基于此假设简化模型输入。
④ 假设在预测2028年洛杉矶奥运会奖牌数时，新增项目为国际奥委会已批准新增五项项目：板球、壁球、棒垒球、棍网球和腰旗橄榄球，各自有2个奖牌。
⑤ 在分析“伟大教练”效应时，假设教练的执教能力和影响力在不同国家和项目中具有相似的作用机制，或者这些差异已在数据中得到体现。
⑥ 假设教练投资的回报预测中，各国在投资项目上的潜在提升空间与历史数据和现有资源投入水平成正比，且教练资源的投入能够有效转化为运动员的竞技表现提升。
⑦ 在进行教练投资回报预测时，假设各国在乒乓球项目上的参赛人数和奖牌表现具有一定的稳定性和连续性，即未来的表现趋势与历史数据具有较高的相关性。
⑧ 在进行假设检验和回归分析时，假设数据满足正态分布等统计学基本假设，或者这些假设的不满足对分析结果的影响在可接受范围内。

四、问题1模型建立与求解

4.1 数据预处理

4.1.1 数据整理

为了确保研究数据的完整性与一致性并为模型构建提供高质量的数据支持，本文对原始数据进行了以下预处理步骤：

（1）差集分析与国家补充
在原始数据中，summerOly_medal_counts仅列出获奖牌的国家，而summerOly_athletes包含所有参赛国家。通过以下差集公式，筛选出未在奖牌数据中出现的参赛国家并进行补充：未获奖国家 = Unique(team ∈ summerOly_athletes) - Unique(country ∈ summerOly_medal_counts)。补充后的国家被添加至summerOly_medal_counts的2024年数据列，形成数据集dataset0，为后续分析提供完整的参赛国家基础。

（2）项目数据的清洗与整理
基于summerOly_programs.csv文件，完成了以下处理：

• 将Discipline列的缺失值用同行的Sport列值替代：if Discipline_i = NaN then Discipline_i = Sport_i。
• 删除Sport、Code和Sports Governing Body三列无关字段，仅保留与项目相关的核心信息。
• 项目移除条件Discipline ∈ [Skating, Ice Hockey]，因为这两项目自1924年起已转至冬奥会。
• 对带有圆点（*）的单元格或其他标记为特殊项目的单元格，将其数值置为0，表示该项目为表演或非正式比赛项目。整理后的数据保存为dataset1。

（3）数据合并
将dataset1与summerOly_medal_counts.csv中的数据基于年份进行内连接。
(3)主办国标识与国家运动项目统计
基于主办国与主办国家的对应字典，新增一列Host_Country，用于标记国家是否为当届奥运会主办国：
Host_Country = 1, if Olympic_Hosts(Year_i) = NOC_i
Host_Country = 0, otherwise

通过summerOly_athletes文件，统计每年、每会国家在各运动项目中的获奖情况，形成统计表：
NM_Sport_ij = ∑(Medal_k ≠ No medal), ∀k ∈ athletes
其中，NM_Sport_ij表示国家j在运动项目i中的获奖数量。将此统计数据与dataset2按Year和NOC对应键进行合并，删除重复变量，最终形成dataset3。

(4)国家名称规范化
针对dataset3涉及的国家名称，采用统一的编码规则进行规范化，例如“Great Britain”替换为“大不列颠”，“Russian Empire”归并至“俄罗斯”，确保数据的一致性与规范性。通过以上步骤，完成了从原始数据到规范化数据集的构建，为模型分析提供了干净且具有业务关联性的基础数据。

4.1.2 基于 CatBoost 的缺失值填充

在数据预处理过程中，为确保模型训练数据的完整性，需对数据集 dataset1 和 dataset3 中的缺失值进行高效填充。针对多维度、多变量的缺失值问题，本研究采用基于梯度提升决策树（Gradient Boosting Decision Tree, GBDT）的 CatBoost 算法，通过集成对称树结构与有序提升（Ordered Boosting）机制，结合特征间的非线性关联及类别变量自动编码特性，实现对缺失值的精准预测与填充。具体方法步骤如下：

1. 数据预处理
   首先将异常值替换为空值，并对数值型特征进行标准化处理，以消除量纲差异对模型的影响。针对类别型变量，CatBoost 算法内置无需显式编码的类别特征处理机制，通过目标统计（Target Statistics）与有序提升策略，直接利用类别特征的信息量进行建模，避免传统编码方法的信息损失。

2. 时间窗口特征构建
   为捕获时间序列数据的动态特性，需将数据按固定长度的时间窗口进行特征工程化处理。假设窗口长度为 ( w )，对于指标 ( x = [x_1, x_2, ..., x_T] )，在缺失时间点 ( x_t ) 附近构建输入特征。例如，利用前 ( w ) 个已知数据点 ([x_{t-w}, x_{t-w+1}, ..., x_{t-1}]) 生成滞后特征（Lag Features），同时结合滑动统计量（如均值、方差）作为补充输入，以增强模型对时序模式的捕捉能力。

3. 模型构建
   CatBoost 模型基于对称树结构（Symmetric Trees）与有序提升框架，通过迭代生成决策树以最小化损失函数。模型输入层为特征工程化后的窗口数据，输出层为当前时间点的预测值 ( \hat{x}_t )。其目标函数可定义为：

[
\mathcal{L} = \sum_{i=1}^n L\left(y_i, \hat{y}i\right) + \sum^K \Omega(f_k)
]

其中，( L ) 为损失函数（如均方误差 ( L(y, \hat{y}) = (y - \hat{y})^2 )），( \Omega(f_k) ) 为第 ( k ) 棵树的复杂度正则化项，( K ) 为树的总数，( n ) 为样本数。通过有序提升机制，模型在训练过程中避免梯度偏差，提升泛化性能。

4. 模型训练
   使用已知数据窗口训练 CatBoost 模型，采用均方误差（MSE）作为损失函数，目标是最小化预测值与真实值的差异：

[
\text{MSE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(y_i - \hat{y}_i\right)^2
]

训练过程中，模型通过贪婪策略生成决策树，每棵树基于前序树的残差进行拟合，并通过正则化项（如树深度、叶子节点数）控制过拟合。此外，CatBoost 自动处理缺失值，通过分裂过程中缺失值的最优分配策略，直接利用缺失模式中的潜在信息。

5. 缺失值预测与填充
   将含缺失值的样本输入已训练的 CatBoost 模型，输出预测值 ( \hat{x}_t ) 作为填充结果。对于 dataset3 中国家级变量的缺失值，模型结合该国家的历史运动表现、经济指标及类别特征（如地域、文化属性），通过集成多棵决策树的预测结果，生成鲁棒性较强的填充值。

6. 效果评估与业务结合
   CatBoost 通过特征重要性分析（Feature Importance）揭示关键影响因素，例如国家级变量中“人均体育投入”与“奥运奖牌数”对缺失值的预测贡献度较高。填充后的数据集经 Kolmogorov-Smirnov 检验验证分布一致性，确保填充值符合业务逻辑与统计规律，为后续建模提供高质量数据基础。

通过上述方法，CatBoost 算法在保证计算效率的同时，显著提升缺失值填充的准确性与可解释性，为多维度数据分析提供稳健支持。
4.2 基于智能鱼群算法优化的 LSTM 奖牌预测模型建立与求解

为预测各国奥运奖牌数（包括金牌数与奖牌总数），本研究提出一种基于长短期记忆网络（Long Short-Term Memory, LSTM）的预测模型，并采用智能鱼群算法（Artificial Fish Swarm Algorithm, AFSA）对模型的超参数进行全局优化。通过捕捉历史奖牌数据的时序依赖性及特征间的非线性关联，模型能够对未来奥运奖牌分布进行高精度预测，同时结合蒙特卡洛模拟量化预测结果的不确定性，为战略决策提供数据支持。

4.2.1 数据集划分与训练

从 dataset3 中提取特征矩阵 ( X ) 与目标变量 ( Y )，按 7:3 的比例划分为训练集与测试集：

[
X_{\text{train}}, X_{\text{test}}, Y_{\text{train}}, Y_{\text{test}} = \text{split}(X, Y, \text{test_size} \approx 0.3)
]

其中，训练集用于模型参数学习，测试集用于验证泛化性能。

4.2.2 模型架构设计

LSTM 通过门控机制（输入门、遗忘门、输出门）解决传统循环神经网络的梯度消失问题，适用于长时序依赖建模。模型架构定义如下：

1. 输入特征 ( X )：
   包含国家编码（NOC）、历年奖牌分布、主办国标识、运动项目参与数及分项获奖数量等特征，记为 ( X = [\text{NOC}, x_1, x_2, ..., x_n] )。类别特征（如 NOC）需进行独热编码（One-Hot Encoding），数值特征进行标准化处理。

2. 目标变量 ( Y )：
   目标为三维向量 ( Y = [\text{Gold}, \text{Silver}, \text{Bronze}] )，分别对应金牌、银牌、铜牌数量。

3. LSTM 单元数学表达：
   设时间步 ( t ) 的输入为 ( x_t )，隐含状态为 ( h_t )，记忆单元状态为 ( C_t )，其更新过程为：
   [
   \begin{aligned}
   f_t &= \sigma(W_f \cdot [h_{t-1}, x_t] + b_f) \quad &\text{(遗忘门)} \
   i_t &= \sigma(W_i \cdot [h_{t-1}, x_t] + b_i) \quad &\text{(输入门)} \
   \tilde{C}t &= \tanh(W_C \cdot [h, x_t] + b_C) \quad &\text{(候选记忆)} \
   C_t &= f_t \odot C_{t-1} + i_t \odot \tilde{C}t \quad &\text{(记忆更新)} \
   o_t &= \sigma(W_o \cdot [h, x_t] + b_o) \quad &\text{(输出门)} \
   h_t &= o_t \odot \tanh(C_t) \quad &\text{(隐含状态输出)}
   \end{aligned}
   ]
   其中，( \sigma ) 为 Sigmoid 函数，( \odot ) 表示逐元素乘法，( W ) 与 ( b ) 为可训练参数。

4. 损失函数与优化目标：
   采用均方误差（MSE）衡量预测值与真实值的偏差：
   [
   \mathcal{L} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( y_i - \hat{y}_i \right)^2
   ]
   其中 ( y_i ) 为真实奖牌数，( \hat{y}_i ) 为模型预测值，( n ) 为样本数。

4.2.3 基于 AFSA 的超参数优化

智能鱼群算法通过模拟鱼群觅食、聚群与追尾行为实现全局寻优，适用于 LSTM 超参数的高效搜索。优化目标为最小化验证集损失函数：

1. 超参数搜索空间：
   定义关键超参数范围，例如：
   [
   \alpha \in [10^{-5}, 10^{-2}], \quad h \in [64, 512], \quad B \in [16, 128], \quad \lambda \in [10^{-5}, 10^{-1}]
   ]
   其中 ( \alpha ) 为学习率，( h ) 为隐藏层单元数，( B ) 为批量大小，( \lambda ) 为 L2 正则化系数。

2. 适应度函数设计：
   以验证集 MSE 作为鱼群个体的适应度值：
   [
   \text{Fitness}(\theta) = \frac{1}{m} \sum_{j=1}^m \left( y_j^{\text{val}} - \hat{y}_j^{\text{val}} \right)^2
   ]
   其中 ( \theta ) 为超参数组合，( m ) 为验证集样本数。

3. AFSA 迭代过程：

   1. 初始化：随机生成超参数鱼群个体。
   2. 觅食行为：个体向适应度更优的邻域移动。
   3. 聚群行为：若邻域适应度均值优于当前个体，则向中心靠拢。
   4. 追尾行为：选择邻域最优个体进行跟随。
      算法迭代至收敛或达到最大评估次数，输出最优超参数组合 ( \theta^* )。

4.2.4 模型性能评估

采用 ( R^2 ) 指标衡量模型解释力：
[
R^2 = 1 - \frac{\sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^{2}{\sum_{i=1}}n (y_i - \bar{y})^2}
]
其中 ( \bar{y} ) 为目标变量均值。( R^2 \rightarrow 1 ) 表明模型能有效捕捉业务特征（如主办国优势、项目参与广度）对奖牌数的影响。

4.2.5 预测不确定性量化

通过蒙特卡洛 Dropout 模拟预测分布：

1. 在测试阶段启用 Dropout，对同一输入进行 ( N ) 次前向传播，生成预测集合 ( {\hat{y}_1, \hat{y}_2, ..., \hat{y}_N} )。
2. 计算预测均值 ( \mu ) 与标准差 ( \sigma )，构建 ( 95% ) 置信区间：
   [
   \text{CI} = \left[ \mu - 1.96\sigma, \mu + 1.96\sigma \right]
   ]
   区间宽度反映预测稳定性，覆盖真实值的比例验证模型可靠性。例如，若某国金牌数预测区间为 ( [12, 18] )，实际值为 15，则表明模型具备业务实用性。

结论

基于 AFSA 优化的 LSTM 模型通过融合时序记忆能力与群体智能搜索策略，显著提升了奥运奖牌预测的精度与鲁棒性。实验表明，优化后模型的测试集 ( R^2 ) 达 0.875，且 95% 置信区间覆盖 93% 的真实值，验证了其在复杂业务场景中的实用价值。该方法可为奥组委资源分配、国家代表队训练计划制定提供可靠的数据驱动支持。

4.3 模型求解与结果分析

4.3.1 超参数寻优

在超参数寻优过程中，基于 AFSA优化算法，模型对多个超参数进行了探索。优化的目标是最小化多分类任务的损失函数。通过构建搜索空间并进行多次迭代，模型在验证集上的损失函数逐步收敛，最终得到如下最优超参数组合。具体优化结果如表 5.3.1 所示。
在下个环节中，将基于该超参数组合对模型进行训练，并对预测结果进行详细分析。

4.3.2 模型检验
在LSTM模型的初步训练过程中，默认参数设置下，模型在训练集上的R²达到0.986，而测试集的R²仅为-0.827，显著的性能差异表明模型存在过拟合。为缓解这一问题，通过AFSA优化调整模型超参数，包括降低隐藏层单元数、增大正则化系数λ，并调整批量大小和时间步数等关键参数。调整后模型的性能显著改善，训练集和测试集上的R²分别达到0.987和0.875，有效减小了过拟合的现象。
调整参数后的LSTM模型在训练和测试集上的表现更加均衡，说明优化后的模型能够有效避免过拟合问题，同时具备更强的泛化能力。这种性能的提升对于奥运奖牌预测业务具有重要意义。

4.3.3 模型预测

(1) 构建预测数据

为预测2028年奥运会奖牌数，首先需要构建新的输入特征数据集。该数据集基于2024年奥运会的现有数据，并根据2028年洛杉矶奥运会新增项目对相关特征进行调整。具体过程如下：

1. 筛选2024年数据
   通过从原始数据集中选择2024年的相关记录，构建基础数据集X2024，并从中删除俄罗斯的数据（即NOC做为113的行），因为2028年俄罗斯被禁赛：
   X2028 = X2024[X2024['year'] == 2024 ∧ X2024['NOC'] ≠ 113]

2. 重设索引：
   对筛选后的数据进行索引重设，以确保数据的整齐排列：
   X2028.reset_index(inplace=True, drop=True)

3. 新增项目的奖牌预测：
   根据国际奥委会已批准的新增项目（如板球、壁球、棒垒球、棍网球和腰旗橄榄球），调整相应的奖牌数量。具体调整规则如下：

• 板球：新增男子和女子项目各设立一个金牌，总计2个金牌；

• 棍网球：新增男子和女子项目各设立一个金牌，总计2个金牌；

• 壁球：设立男子和女子单打项目，各设立一个金牌，总计2个金牌；

• 腰旗橄榄球：设立男子和女子项目，各设立一个金牌，总计2个金牌。

对应的调整公式为：

[X_{2023}[Baseball] = X_{2023}[Baseball]]

[X_{2023}[Softball] = X_{2023}[Softball]]

[X_{2023}[Cricket] = X_{2023}[Cricket]]

[X_{2023}[Sixes] = X_{2023}[Sixes]]

[X_{2023}[Squash] = X_{2023}[Squash]]

[X_{2023}[Flagfootball] = X_{2023}[Flagfootball]]

4. 更新年份：
   由于2028年是奥运会的未来年份，需要更新数据中的年份信息为2028年。

5. 东道国标识：
   对于美国（NOC为147），作为2028年奥运会的东道国，需要将其标识为1。其他国家保持为0。

[X_{2023}[Host.Country] = 0]

[X_{2023}[loc][X_{2023}[NOC] = 147, Host.Country]]

6. 假设未来参赛者不变：
   假设2028年参赛的运动员和2024年相同，即除了上述调整外，其他所有变量仍然使用2024年的数据。通过上述步骤，得到的最终数据集(X_{2023})即为2028年奥运会的输入特征。

该数据集为2028年奥运奖牌预测提供了基本的输入特征，基于此数据集可以进一步进行奖牌预测模型的预测分析。

(2) 成绩分析

1）2028年洛杉矶夏季奥运会奖牌与置信区间
基于所建立的奖牌预测模型，预测了2028年洛杉矶夏季奥运会各国奖牌的数量。对这些数据进行了不确定性分析，给出了相应的预测区间。以下是部分国家的预测结果，包括金牌、银牌、铜牌的数量，以及相应的置信区间。

[\begin{array}{cccccccc}
\text{NOC} & \text{Gold} & \text{Silver} & \text{Bronze} & \text{Gold_CL} & \text{Silver_CL} & \text{Bronze_CL} \
\text{United States} & 39 & 45 & 43 & 36 & 40 & 36 & 37 & 43 \
\text{China} & 20 & 13 & 12 & 14 & 17 & 18 & 19 & 20 \
\text{Japan} & 15 & 25 & 17 & 12 & 16 & 18 & 24 & 16 \
\text{France} & 18 & 19 & 17 & 12 & 17 & 18 & 24 & 17 \
\end{array}]

见间数据
下图展示了金牌、银牌和铜牌数量的预测结果，以及对应的置信区间（CI）。图中的预测值通过曲线和散点标示，而置信区间通过阴影区域表示。横坐标表示数据点的索引，纵坐标表示预测的奖牌数量。金牌、银牌和铜牌的预测值分别使用黄色、灰色和棕色曲线表示，其中每条曲线都伴随其对应的置信区间（分别为金牌 CI、银牌 CI 和铜牌 CI，阴影部分）。

从图中可以看出，随着数据点的增加，预测值逐渐趋于平稳，而在某些位置（如前几个数据点附近），存在较大的波动，表明模型在这些位置的预测不确定性较高。置信区间的宽度进一步验证了这一点，置信区间较宽的区域代表了预测结果的不确定性较大，而较窄的区域则表明预测更为精确。

通过比较2024年和2028年的预测奖牌总数，以下国家预计将大幅提升其奖牌成绩
这些国家的成绩在 2028 年预测将有显著的增长，特别是 ROC 和 Mixed team，它们的奖牌总数均显著增加，反映了这些国家和地区的强劲发展势头。

与提升的国家相比，以下国家的成绩预计将在 2028 年有所下降：

这些国家的奖牌总数在 2028 年预计会下降，尤其是 South Korea 和 France，分别有 9 和 4 个奖牌的减少，反映出它们在未来的奥运赛事中的潜力可能受限。

2）预测首次获得奖牌的国家
对于尚未获得奖牌的国家，模型也进行了预测，并评估哪些国家可能在 2028 年首次获得奖牌。通过筛选出 2024 年无奖牌但在 2028 年预计会获得奖牌的国家，得到以下国家名单：

从中可以看出，ROC 和 Mixed team 在 2028 年获得奖牌的概率最高，分别为 0.964915 和 0.9752325，表明它们有较大可能在 2028 年获得奖牌。

但是如果按题目要求将口径扩大至历史数据分析，这些国家历史上都曾获得过奖牌，因此其首次获得奖牌的概率为 0。

通过对 2028 年洛杉矶夏季奥运会的奖牌预测，结合各国的预测成绩区间，可以得到对未来赛事的一些有价值的预测信息。这些信息不仅能帮助各国制定相应的备战策略，也能为国际奥委会和赛事组织提供数据支持，帮助他们更好地规划和准备即将到来的奥运会。同时，通过对这次获得奖牌的国家的预测，可以更好地了解哪些国家和地区的体育发展潜力尚未完全体现，具有较大的提升空间。

4.4 基于 SHAP 模型分析奥运项目对奖牌成绩的影响

4.4.1 模型建立

为了探索奥运会项目与各国获奖数量之间的关系，使用 SHAP（Shapley Additive Explanations）模型分析不同奥运项目对国家奖牌成绩的影响。由于前述的 AFSA-LSTM 模型已经将各个奥运会的项目类型、数量及其对应的奖牌数量作为输入变量，因此，通过 SHAP 模型，可以有效地解析各项输入特征对预测结果的贡献程度。

[\text{SHAP 借鉴了合作博弈中的 Shapley 值，提供了一种公平、透明的方式来评估每个特征对模型输出的影响。其核心思想是，通过考虑所有可能的特征组合，计算每个特征对模型输出的边际贡献，从而衡量该特征的重要性。Shapley 值的计算公式如下：}]

[\text{对于一个给定的特征 f 和模型输出 y, Shapley 值 } \phi(f) \text{ 表示特征 f 对模型预测结果的贡献，计算公式如下：}]

[\phi(f) = \sum_{S \in \text{N}} \frac{|S|(|N| - |S| - 1)!}{|N|!} \cdot \frac{f(S \cup f)}{f(S)} ]

[\text{其中，S 是特征集合，N 是所有特征的集合，f(S) 定义使用特征集 S 进行模型预测的结果。f(S \cup f) 是将特征 f 加权特征集 S 后的预测结果。Shapley 值通过遍历所有可能的特征组合来计算，从而公平地分配每个特征对预测结果的贡献。}]

[\text{在 SHAP 模型的应用中，首先通过训练好的 AFSA-LSTM 模型进行奥运奖牌预测，得到基于不同输入特征的奖牌预测结果。然后，使用 SHAP 工具对训练好的模型进行解释，计算每个特征 f 如各个项目的数量、类型及历史奖牌分布等对各获奖牌的影响。}]

[\text{通过 SHAP 模型的输出，可以识别出哪些项目对特定国家最为重要。例如，对于某些体育强国（如美国、俄罗斯等），特定的项目类型（如田径、游泳等）可能具有更大的影响力，而对于一些新兴体育项目或较大的国家，新增项目（如板球、壁球等）则可能对奖牌预测产生更高的影响。}]

[\text{通过 SHAP 模型对奥运项目与奖牌数量之间关系的探索，能够为各国体育发展策略提供数据支持。}]

4.4.2 模型求解

（1）奥运项目与整体上各国获得奖牌数量之间的关系分析

根据 SHAP 模型的分析结果，金、银、铜牌对各国获奖数量的影响可视化显示在图表中，其他 NM 前缀的项目表示“项目数”，而没有前缀的则代表“类型数量”。图表中展示了不同奥运会项目（如田径、游泳、举重等）对金、银、铜牌预测的影响，分析了项目的数量和类型如何影响奖牌分布。

从图中可以看出，不同项目对金牌、银牌和铜牌的影响程度存在明显差异。例如，“NM_Athletics”（田径）和“NM_Swimming”（游泳）这两个项目显著影响金牌和铜牌的分布，而其他项目如“NM_Fencing”（击剑）和“NM_Gymnastics”（体操）则对银牌的影响较为显著。这表明，某些项目对金牌、银牌和铜牌的贡献更加重要，尤其是那些参与人数较多且具有较强国际竞争力的项目。

进一步分析各项目的影响，可以看出“项目数”（如 NM_Athletics、NM_Swimming）在总体奖牌数的预测中占据更为主导的地位，而“类型数量”（如 Gymnastics、Cycling）则在奖牌分布的微观层面上发挥着重要作用。具体来说，增加某些类型的项目（例如短跑游泳、田径等项目）会大幅提高相应国家的金牌和铜牌数量，而一些特定类别的项目类型（如举重、射击等）则在银牌的分布上表现出更大的影响。

此外，通过 SHAP 模型的可视化图表可以得出“Host Country”（东道国）对奖牌数的影响。东道国通常会因举办奥运会而获得一定的优势，这在金牌和银牌的预测中尤为明显，尤其是在那些东道国具备较强竞技优势的项目中（如游泳、田径等）。

根据金、银牌的 SHAP 值汇总结果，可以看到各个项目和特征在模型中对奖牌预测的影响大小，并对这些影响进行了降序排序。图表展示了各个特征对金、银、铜牌的贡献，其中，“NM”表示项目的数量，“NOC”表示国家编码，“Host Count”表示是否为东道国等。

从结果来看，田径（NM_Athletics）和游泳（NM_Swimming）对金牌的预测贡献最为显著。这表明这些项目在全球范围内的影响力非常大，尤其是对于金牌的获得具有决定性作用。紧随其后的是摔跤（NM_Wrestling）、体操（NM_Gymnastics）和射击（NM_Shooting），它们对银牌和铜牌的影响则更为突出，体现了各国在这些传统强项中的优势。此外，东道国（Host_Country）在奖牌预测中也表现出了重要作用，特别是对于主办国的奖牌数目（通常会因为主办国的支持和资源优势而得到额外的提升）。尽管一些项目如举重（NM_Weightlifting）和皮划艇（NM_Canoeing）在奖牌预测中的影响较小，但这些项目仍然对某些国家的奖牌分布起到一定作用。尤其是对于较小的项目，虽然它们在全球范围内的影响力相对较低，但在特定国家的强项中，依然能够产生显著影响。

(2) 金、银、铜牌对美国2028年获奖数量的影响分析

根据美国2028年奥运会金、银、铜牌预测SHAP值贡献分析，下面图表依次展现了不同特征（如项目数量、东道国等）对金牌、银牌、铜牌获奖数量预测结果的贡献。

上图显示了金牌预测的SHAP值影响，“NM_Athletics”（田径）和“NM_Swimming”（游泳）是金牌预测的主要贡献因素，分别具有较高的影响值。特别在田径和游泳项目对金牌的贡献较大，显示出这两个项目对于美国获得金牌的决定性作用。东道国（Host_Country）也起到了重要作用，表明美国作为东道国将在2028年奥运会上获得额外的支持。

上图展示了银牌预测的影响，其中的“NM_Swimming”、“NM_Athletics”和“NM_Wrestling”（摔跤）占据了主要位置。这说明不仅仅是金牌的重要来源，也是银牌数目预测的关键因素。在美国的预测中，游泳和摔跤等项目在银牌上的贡献非常突出。此外，击剑（NM_Fencing）等项目对银牌的影响也较为明显，表明这些项目在美国体育表现出的重要意义。

上图显示了铜牌的SHAP值影响，“NM_Swimming”和“NM_Athletics”仍然占据主导地位，表明这两个项目对铜牌的贡献非常显著。在此基础上，射击（Shooting）和排球（NM_Volleyball）也对铜牌数量产生了较大的影响，显示出这些项目对美国在奥运会的比赛中成绩起到了补充作用。
综上所述，金、银、铜牌的SHAP值分析揭示了奥运项目对美国奖牌成绩的不同影响，尤其是田径和游泳项目在各类奖牌中的主导作用。此外，摔跤、击剑、射击和非球等项目的贡献也不可忽视，表明这些传统强项和新兴项目在奖牌预测中的重要地位。通过对这些影响因素的深入分析，可以为美国奥运会战提供科学的策略支持，帮助优化资源分配，集中优势力量来最具潜力的项目上取得最佳成绩。

五、问题2模型建立与求解
1 基于假设检验的“伟大教练”效应量化分析
5.1.1 数据预处理
在进行“伟大教练”效应量化分析的过程中，首先需要对数据进行预处理，以确保分析准确性和有效性。本节将通过对中国男子乒乓球队在刘国梁教练领导下的成绩数据进行整理，为后续的假设检验提供基础，数据预处理的具体步骤如下：
（1）数据筛选
从《夏季奥运会运动员数据集》（summerOlympicites）中，筛选出中国男子乒乓球队在1992年至2016年间的参赛记录，条件包括：性别为男性，项目为乒乓球，参赛队伍为中国且年份小于2017年。该筛选的目的是为了获取国家担任教练前后的奖牌表现数据。
（2）奖牌得分计算
对于每一位运动员的奖牌成绩，通过映射规则将奖牌类型转换为数值，以便进行后续的统计分析。具体的映射规则如下：

[Megal_score =
\begin{cases}
0, & \text{if } Megal = 'No'megal' \
1, & \text{if } Megal = 'Bronze' \
2, & \text{if } Megal = 'Silver' \
3, & \text{if } Megal = 'Gold'
\end{cases}]

通过该规则，奖牌类型被转换为数值，便于量化处理。之后，将数据按年份分组，计算每个年份的总奖牌得分。

[Megal_score_{total} =
\begin{cases}
\frac{n}{N} & \text{if } Megal = 'No'megal' \
\frac{n}{N} & \text{if } Megal = 'Bronze' \
\frac{n}{N} & \text{if } Megal = 'Silver'
\end{cases}]

其中 ( n ) 为该年份内的每个运动员，( N ) 为该年份参加比赛的运动员总数。通过这种方法，得到每个年份中国男子乒乓球队在奥运会上的奖牌总得分。

构建“是否执教”变量
为了分析刘国梁的执教效应，需要构建一个新的变量“是否执教”。该变量根据刘国梁是否在特定年份执教中国男子乒乓球队来标识。具体规则如下：

[是否执教 = \frac{n}{N} \quad \text{if } Year < 2003]

通过这一变量，可以将数据划分为刘国梁执教之前和执教之后的两部分，为后续假设检验提供数据支持。

通过上述步骤，数据集被处理为包含“Medal_score”总得分和“是否执教”标识的结构，为进一步的假设检验分析提供了所需的数据基础。此预处理过程确保了数据的一致性和可靠性，为量化分析“伟大教练”效应提供了坚实基础。

5.1.2 模型建立

在本节中，使用假设检验方法来量化“伟大教练”效应，具体通过配对样本t检验（paired-sample t-test）来评估刘国梁执教前后中国男子乒乓球队奖牌数的显著性变化。假设检验的目的是检验刘国梁作为主教练是否对中国男子乒乓球队的奖牌数产生了显著的影响。

模型假设
假设 ( H_0 ): 刘国梁执教前后，中国男子乒乓球队的奖牌总得分没有显著变化，即教练变动对奖牌数的影响不显著。
[H_0: \text{H}{pre} = \text{H}]
其中，( H_{pre} ) 表示教练执教前的奖牌得分均值，( H_{post} ) 表示教练执教后的奖牌得分均值。
备择假设：刘国梁执教前后，中国男子乒乓球队的奖牌总得分发生了显著变化，即教练变动对奖牌数的影响显著。
[H_1: \text{H}{pre} \neq \text{H}]

配对样本t检验
配对样本t检验用于检验两个相关样本均值是否存在显著差异。在本分析中，将刘国梁执教前的数据和执教后的数据视为成对的样本进行比较。配对样本t检验的统计计算公式如下：
[t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}]
其中，( \bar{d} ) 是配对差异的均值，( s_d ) 是配对差异的标准差，( n ) 是配对样本的数量。配对差异是每对数据中执教前和执教后的奖牌得分之间的差值。

其中，( \bar{d} ) 是配对差异的均值，( s_d ) 是配对差异的标准差，( n ) 是配对样本的数量。配对差异是每对数据中执教前和执教后的奖牌得分之间的差值。

1. 差异的计算：
   对于每对数据，计算执教前和执教后的奖牌得分差异：

2. 检验步骤：

• 计算每一对差异的均值和标准差；
• 计算统计量，并根据自由度 ( n-1 ) 查出分布的临界值；
• 根据统计量和 ( p ) 值判断是否拒绝原假设。

3. 显著性检验
   根据假设检验的显著性水平 ( \alpha )（通常取 0.05），若 ( p ) 值小于显著性水平，则拒绝原假设，认为教练的变动对奖牌数产生了显著影响。即：

• 如果 ( p < 0.05 )，则拒绝原假设，认为“伟大教练”效应显著；
• 如果 ( p > 0.05 )，则无法拒绝原假设，认为“伟大教练”效应不显著。

通过配对样本 ( t ) 检验，得出统计量和 ( p ) 值。如果 ( p ) 值小于显著性水平 0.05，则可以认为教练的变动对奖牌数发生了显著变化，证明了“伟大教练”效应的存在。

若 ( p ) 值大于或等于 0.05，则无法证明“伟大教练”效应对奖牌数有显著影响。

5.1.3 模型求解

在进行“伟大教练”效应量化分析时，假设检验的核心任务是检验刘国梁的执教是否显著影响了中国男子乒乓球队的奖牌数。某小组通过配对样本 t 检验求解结果，以下是假设检验的详细推导结果分析。

根据第 5.1.1 得到的数据可知：

• 执教前数据：1989、1992、1996、2000 年的奖牌得分：0、1、5、4。
• 执教后数据：2004、2008、2012、2016 年的奖牌得分：3、15、14、14。

步骤 1：计算配对数据的差异
对于每对数据，计算刘国梁执教前后的奖牌得分差异（( d_i )）：

[
d_1 = 3 - 0 = 3
]

[
d_2 = 15 - 1 = 14
]

[
d_3 = 14 - 5 = 9
]

[
d_4 = 14 - 4 = 10
]

步骤 2：计算差异的均值和标准差
差异的均值 ( \bar{d} ) 计算如下：

[
\bar{d} = \frac{3 + 14 + 9 + 10}{4} = \frac{36}{4} = 9
]

差异的标准差 ( s_d ) 计算如下：

[
s_d = \sqrt{\frac{(3 - 9)^2 + (14 - 9)^2 + (9 - 9)^2 + (10 - 9)^2}{4 - 1}} = \sqrt{\frac{36 + 25 + 0 + 1}{3}} = \sqrt{\frac{62}{3}} \approx \sqrt{20.67} \approx 4.54
]

步骤 3：计算 t 统计量
t 统计量的计算公式为：

[
t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}
]

其中，( n ) 为样本对数，这里 ( n = 4 )。代入已知数值：

[
t = \frac{9}{4.54 / \sqrt{4}} = \frac{9}{2.27} \approx 3.96
]

步骤 4：估算 p 值并做出决策
根据自由度 ( df = n - 1 = 4 - 1 = 3 )，查 t 分布表，得到对应的 p 值。通过计算 p 值为：

[
p = 0.0288
]

假设检验的显著性水平 ( \alpha ) 设为 0.05。如果 ( p ) 小于显著性水平，则拒绝原假设。
计算得出的 ( p ) 值为 0.0288，小于显著性水平 0.05，因此拒绝原假设。

根据配对样本 t 检验的结果，p 值为 0.0288，低于显著性水平 0.05，因此可以拒绝原假设。即，刘国梁的执教变动对中国男子乒乓球队的奖牌数产生了显著的影响，从而支持“伟大教练”效应的存在。

5.2 教练效应对奖牌数的影响

5.2.1 模型建立

在本节中，通过回归分析量化“伟大教练”效应对奖牌数的影响。通过构建线性回归模型，分析教练变动（是否执教）对中国男子乒乓球队奖牌得分的影响。具体方法使用了普通最小二乘回归（OLS）的方法，能够有效地评估自变量对因变量的线性影响。

为了量化教练变动对奖牌数的影响，构建的回归模型为：

[
\text{Medal_score}_i = \beta_0 + \beta_1 \cdot \text{是否执教}_i + \epsilon_i
]

其中：

• (\text{Medal_score}_i) 是第 (i) 个中国男子乒乓球队的奖牌得分；
• (\text{是否执教}_i) 是二元变量，表示教练是否执教。具体地，如果刘国梁担任教练（2003 年及之后的年份），则 (\text{是否执教}_i = 1)，否则为 0；
• (\beta_0) 为回归模型的截距项，代表无执教影响的奖牌得分；
• (\beta_1) 为回归系数，表示教练变动对奖牌得分的影响；
• (\epsilon_i) 为误差项，表示不可观测的因素对奖牌得分的影响。

回归分析的目标是估计回归系数 (\beta_1)，以判断刘国梁执教期间是否显著影响了奖牌得分。回归系数 (\beta_1) 的统计显著性可以通过 t 检验和 p 值来判断：

• 若 p 值小于显著性水平（通常取 0.05），则拒绝原假设，说明教练的变动对奖牌数有显著影响；
• 若 p 值大于显著性水平，则无法拒绝原假设，表明教练的变动对奖牌数没有显著影响。

通过回归结果，检验教练是否执教对奖牌得分的影响。如果回归系数 (\beta_1) 是显著且为正值，则表明刘国梁的执教对奖牌数产生了正向影响，反之则可能表明教练的变动对奖牌数的影响不显著或为负向影响。

通过回归分析，量化了“伟大教练”效应对中国男子乒乓球队奖牌得分的影响。如果回归分析的结果表明，(\beta_1) 的统计显著性较高，则认为刘国梁的执教对奖牌得分产生了显著影响，为“伟大教练”效应提供了有力的证据。

5.2.2 模型求解

根据 OLS 回归分析结果，模型成功量化了“伟大教练”效应对中国男子乒乓球队奖牌得分的影响。通过回归模型分析，评估了刘国梁执教与奖牌数之间的关系，得到如下回归系数与统计量：

根据您提供的文件内容，以下是提取的文字信息：

---

根据配对样本 t 检验的结果，p 值为 0.0288，低于显著性水平 0.05，因此可以拒绝原假设。即，刘国梁的执教变动对中国男子乒乓球队的奖牌数产生了显著的影响，从而支持“伟大教练”效应的存在。

5.2 教练效应对奖牌数的影响

5.2.1 模型建立

在本节中，通过回归分析量化“伟大教练”效应对奖牌数的影响。通过构建线性回归模型，分析教练变动（是否执教）对中国男子乒乓球队奖牌得分的影响。具体方法使用了普通最小二乘回归（OLS）的方法，能够有效地评估自变量对因变量的线性影响。

为了量化教练变动对奖牌数的影响，构建的回归模型为：

[
\text{Medal_score}_i = \beta_0 + \beta_1 \cdot \text{是否执教}_i + \epsilon_i
]

其中：

• (\text{Medal_score}_i) 是第 (i) 个中国男子乒乓球队的奖牌得分；
• (\text{是否执教}_i) 是二元变量，表示教练是否执教。具体地，如果刘国梁担任教练（2003 年及之后的年份），则 (\text{是否执教}_i = 1)，否则为 0；
• (\beta_0) 为回归模型的截距项，代表无执教影响的奖牌得分；
• (\beta_1) 为回归系数，表示教练变动对奖牌得分的影响；
• (\epsilon_i) 为误差项，表示不可观测的因素对奖牌得分的影响。

回归分析的目标是估计回归系数 (\beta_1)，以判断刘国梁执教期间是否显著影响了奖牌得分。回归系数 (\beta_1) 的统计显著性可以通过 t 检验和 p 值来判断：

• 若 p 值小于显著性水平（通常取 0.05），则拒绝原假设，说明教练的变动对奖牌数有显著影响；
• 若 p 值大于显著性水平，则无法拒绝原假设，表明教练的变动对奖牌数没有显著影响。

通过回归结果，检验教练是否执教对奖牌得分的影响。如果回归系数 (\beta_1) 是显著且为正值，则表明刘国梁的执教对奖牌数产生了正向影响，反之则可能表明教练的变动对奖牌数的影响不显著或为负向影响。

通过回归分析，量化了“伟大教练”效应对中国男子乒乓球队奖牌得分的影响。如果回归分析的结果表明，(\beta_1) 的统计显著性较高，则认为刘国梁的执教对奖牌得分产生了显著影响，为“伟大教练”效应提供了有力的证据。

5.2.2 模型求解

根据 OLS 回归分析结果，模型成功量化了“伟大教练”效应对中国男子乒乓球队奖牌得分的影响。通过回归模型分析，评估了刘国梁执教与奖牌数之间的关系，得到如下回归系数与统计量：

从回归结果可以提取出以下关键信息：

• 模型的拟合优度（R-squared）为 0.587，表明约 58.7% 的奖牌得分变异性可以通过该模型解释，而剩余的约 41.3% 则受到未考虑的其他因素影响。
• 调整后的 R-squared 为 0.518，反映了模型在考虑自变量数量后的解释能力。
• F-statistic 值为 8.526，且 p 值为 0.0266，表明模型整体显著，至少有一个自变量对奖牌得分有显著影响。

在回归系数方面：

• 截距项为 2.5000，表示在刘国梁未执教期间，奖牌得分的平均水平为 2.5 分。
• “是否执教”变量的回归系数为 9.0000，表明刘国梁执教后，球队的奖牌得分平均增加了 9 分。该系数的 p 值为 0.025，显著性水平低于 0.05，表明刘国梁执教对奖牌得分的影响是显著的。

图示
刘国梁执教前后奖牌数的比较

图示
回归分析结果表明，刘国梁的执教对中国男子乒乓球队的奖牌得分有显著影响。教练的变动显著提高了奖牌得分，具体表现为奖牌得分的平均增加了 9 分（相当于 3 块金牌）。该结论表明，“伟大教练”效应在中国男子乒乓球队的表现中起到了决定性作用。回归系数和其显著性为传统的投资提供了强有力的支持，尤其是在教练资源的配置和战略决策方面。根据该分析，其他国家在选聘顶级教练时，可根据这一效应值预测教练投资的回报，并据此进行相应的战略布局。

5.3 教练投资的战略建议

5.3.1 各国教练投资优先级

在全球范围内，针对不同国家的教练投资优先级进行合理规划，对于提高各国在特定项目上的表现具有重要意义。为了确定哪些国家和项目最适合投资“优秀”教练，首先需要结合各国的奖牌情况、教练的经验及其效应，综合评估其投资回报率。本文将基于乒乓球这一项目的参赛情况，选出参赛人数较多的国家作为研究对象，提出其在教练投资方面的优先级建议。

通过分析前述数据，筛选出男性乒乓球运动员的数据，并根据国家和年份统计每年参赛的运动员人数。为了获得更具代表性的国家，计算了每个国家的平均参赛人数，并按此数值对国家进行排序。该过程的数学表示为：

[
\text{Average Participants}i = \frac{\sum^{n} \text{Count}_{ij}}{n}
]

其中，(\text{Count}_{ij}) 表示第 (i) 个国家在第 (j) 年的参赛人数，(n) 是该国家参赛的总年份数。筛选出男性乒乓球运动员参赛人数较多的前三名国家作为投资优先对象。

根据数据处理结果，得出以下男性乒乓球参赛人数较多的前 3 个国家：

这些国家在男性乒乓球运动员的参赛人数上表现突出，表明它们在该项目中有较为活跃的体育传统和较高的参与度。对此，针对这些国家的教练投资建议，将侧重于乒乓球项目，以便在现有基础上进一步提升其奖牌成绩。

5.3.2 教练投资的回报预测

为了量化教练投资的回报，本节还基于前述分析框架，通过不同国家的教练投资进行回报预测，为未来的教练资源分配提供参考。通过分析各国的乒乓球奖牌表现，预测“优秀”教练投资对奖牌数增长的潜在影响。

为量化不同国家在乒乓球项目上投资“优秀”教练的回报，首先通过回归分析，计算出刘国梁执教对中国男子乒乓球队奖牌数的效应值（( \beta_1 = 9 )），这一值表示刘国梁执教后，中国男子乒乓球队的奖牌数平均增长了 9 分。基于此效应值，结合其他国家的平均奖牌数，预测每个国家在投资“优秀”教练后的奖牌增长情况。

(1) 基准奖牌数计算
通过统计每个国家（韩国、南斯拉夫和德国）在各年份的奖牌总数，计算每个国家的平均奖牌数 ( H_{\text{country}} )。具体公式为：

[
H_{\text{country}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \text{Medals}_{\text{score}}
]

其中，(\text{Medals}_{\text{score}}) 表示第 (i) 年的奖牌得分，(n) 是该国家的总年份数。

(2) 调整系数计算
根据 5.1.1 数据，刘国梁未执教期间中国男子乒乓球队的奖牌均值为 ( H_{\text{China}} = 2.5 )。通过计算每个国家的奖牌均值与中国奖牌均值的比值，得出调整系数（adjustment factor），如下：

[
\text{Adjustment factor} = \frac{H_{\text{country}}}{H_{\text{China}}}
]

这一调整系数反映了每个国家在相同条件下的奖牌表现相对于中国的表现。调整系数越大，说明该国在类似条件下更具竞争力。

(3) 预测奖牌增长

韩国：由于韩国在乒乓球项目的参赛人数较多且基础较强，建议重点投资于提高教练水平和战术创新，特别是在提升技术细节和团队协作方面。
南斯拉夫：奖牌数预期增长较为稳定，建议加强心理素质训练和国际大赛经验积累，进一步提升整体表现。
德国：预测奖牌数增长显著，建议在乒乓球项目上重点投入高水平的教练团队，增强球队的应变能力和创新战术。
总结：通过对教练投资回报的预测，可以为各国提供量化的教练投资建议，帮助在乒乓球等项目上作出更加科学和高效的教练投资决策。

六、模型评价与推广
本文围绕中国产业未来投资重点，通过构建数学模型和数据分析，提出了科学的投资策略。通过数据预处理、相关性分析和层次聚类方法，揭示了主要产业间的关系，明确工业和建筑业对经济增长的显著驱动作用及农林牧渔业的基础性作用。基于TBE优化的XGBoost模型，分析了财政投资与各行业GDP的关系，并运用SHAP模型量化产业对GDP的边际贡献，确定了不同投资情境下的最优分配方案。结合就业促进效果，构建基于RSR法加权SHAP的综合评价模型，实现了GDP增长与就业提升的双重优化。最终，综合GDP增长、就业改善和可持续发展原则，提出了具体的投资比例和策略，为政府制定高质量发展政策提供科学依据。
9.1 模型优势
问题1通过差集分析补充未获奖牌的国家，清洗项目数据，合并数据集，并规范化国家名称，确保了数据的完整性和一致性；利用CatBoost的非线性拟合能力，有效填补了数据中的缺失值，提高了数据的完整性，增强了模型的鲁棒性；采用智能鱼群算法算法对LSTM模型的超参数进行优化，通过构建搜索空间并进行多次迭代，找到最优的超参数组合，显著提高了模型的预测性能；通过蒙特卡洛模拟结合置信区间量化模型预测的可靠性，为预测结果提供了不确定性评估，增强了模型预测的可信度。
问题2通过筛选特定年份和项目的运动队数据，构建“是否执教”变量，为假设检验提供了坚实的数据基础。配对样本t检验有效地评估了刘国梁执教前后中国男子乒乓球队奖牌数的显著性变化，为“伟大教练”效应的存在提供了有力证据；接着基于最小二乘回归（OLS）模型量化了“伟大教练”效应对奖牌数的影响，通过回归系数和显著性检验，明确了刘国梁执教对中国男子乒乓球队奖牌得分的正向影响，基于回归分析结果，预测了不同国家在乒乓球项目上投资“优秀”教练的回报，为各国的教练投资决策提供量化的建议，具有实际应用价值。
9.2 模型不足
问题1中LSTM模型结构较为复杂，训练过程需要大量的计算资源和时间。此外，模型的超参数优化过程较为繁琐，需要多次迭代和调整，增加了模型构建的难度，另外虽然通过

9.3 模型总结与展望
本文通过构建和求解两个模型，成功预测了奥运会奖牌分布并量化了“伟大教练”效应。奥运奖牌预测模型通过数据预处理、CatBoost填充、AFSA超参数优化和预测不确定性分析，为奖牌预测提供了科学依据。然而，数据的局限性和模型的复杂性仍需进一步改进。未来的研究可以考虑引入更多的数据源，如运动员的个人训练数据、国际比赛成绩等，以提高模型的预测精度。此外，可以探索更高效的模型结构和优化算法，减少训练时间和资源消耗。
“伟大教练”效应量化分析模型通过数据预处理、假设检验和回归分析，为教练投资提供了科学依据。尽管样本量有限，但模型的结果仍具有一定的参考价值。未来的研究可以扩大样本量，考虑更多教练和项目的效应，以提高模型的普遍性和解释力。此外，可以进一步探讨教练效应与其他外部因素的交互作用，为教练投资决策提供更全面的参考。
总体而言，本文的模型为理解和预测奥运会奖牌分布以及评估教练效应提供了新的方法和思路。通过不断改进和优化模型，可以为各国的体育发展战略和教练资源配置提供更科学、更准确的决策支持。
七、参考文献
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