算竞随笔(一个数学小结论)

结论：若\(((a \% x) \% y)=((a \% y) \% x)\) 对于任意非负整数\(a\)恒成立，那么必有\(x|y\) (假设\(x<y\))

证明如下：

∵ x < y
∴ a % x = (a % y) % x
∴ a ≡ a % y (mod x)
不失一般性，设 a = sy + t
即 sy+t ≡ t (mod x)
由于 t 的任意性，当且仅当 x|y 时，等式恒成立。
证毕。