P11660 我终将成为你的倒影 题解
感觉评紫比较合理。
初步思路
\(b \le 500\)，这于 \(\sqrt n\) 相近，启发我们思考关于根号复杂度的做法。
考虑序列分块。散块暴力，难在整块。
最终思路
下取整可以看做取某个数的整数部分。\(f(x)\) 可以看为 \(\lfloor \frac x b \rfloor + \lfloor \frac a b \rfloor + [a \bmod b + x \bmod b < b]\)。
容易发现，假若 \(f(x)=f(y)\)，令 \(c = |\lfloor \frac x b \rfloor - \lfloor \frac y b \rfloor|\)，那么有必要条件 \(c \le 1\)。
令 \(y_1 = x \bmod b, y_2 = y \bmod b,t = a \bmod b\)。
对于 \(c=0\)：
- 有 \(y_1+t < b \land y_2 + t < b\) 或 \(y_1+t \ge b \land y_2 + t \ge b\)，即 \(t < \min(b-y_1,b-y_2)\) 或 \(t \ge \max(b-y_1,b-y_2)\)。注意到这两个限制不交叉。
对于 \(c=1\)：
- 有 \(y_1+t<b\land y_2 + t\ge b\)，即 \(b-y_2\le t < b-y_1\)。
对于 \(c=-1\)：
- 有 \(y_1+t\ge b \land y_2+t<b\)，即 \(b-y_1\le t < b-y_2\)。
发现上述限制都是区间的形式，且 \(t<b\)。可以考虑在值域为 \(b\) 的桶上差分，再做前缀和。这样就可以支持 \(O(1)\) 查询整块内的答案。
\(b\) 很小，可以枚举。为对于每个块枚举所有的 \(b\)，对于所有块内的元素计算 \(f(A_i)=f(A_{i-1})\) 的限制，预处理出上述的数组。
空间复杂度 \(O(b^2 \frac n B)\)，\(B\) 为块长。
预处理时间复杂度 \(O(bn)\)。
注意
- 注意整块间的答案也要统计。
- 空间 \(O(b^2 \frac n B)\)，块长 \(B=\sqrt n\) 时卡空间，可以适当调大。
- 注意限制本身是否合法，即防止出现左边大于右边。
代码
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;#define IL inline
#define vec vector
#define eb emplace_back
#define bg begin
#define emp emplace
#define fi first
#define se second
#define bg begin
#define lb lower_bound
using dub = double;
using ubt = long long;
using pii = pair<int, int>;IL void ckx(int &x, const int &y) { (x < y) && (x = y); }
IL void ckm(int &x, const int &y) { (x > y) && (x = y); }template <typename T = int>
IL T _R() {T s = 0, w = 1;char c = getchar();while (!isdigit(c)) w = c == '-' ? -1 : 1, c = getchar();while (isdigit(c)) s = s * 10 + c - 48, c = getchar();return s * w;
}const int N = 1e5;
const dub alpha = 1.3;
const int B = alpha * sqrt(N);
const int S = N / B + 1;
const int K = 500;
const int maxN = N + 3, maxK = K + 3, maxS = S + 3;int n, m, x[maxN];int pos[maxN], L[maxS], R[maxS];int t[maxS][maxK][maxK];int main() {n = _R(), m = _R();for (int i = 1; i <= n; i++) x[i] = _R();for (int i = 1; i <= n; i++) {pos[i] = (i - 1) / B + 1;if (!L[pos[i]]) L[pos[i]] = i;R[pos[i]] = i;}for (int u = 1; u <= pos[n]; u++) {for (int b = 1; b <= K; b++) {for (int i = L[u] + 1; i <= R[u]; i++) {int c = x[i] / b - x[i - 1] / b;if (abs(c) <= 1) {int y1 = x[i] % b, y2 = x[i - 1] % b;if (c == 0) {t[u][b][0]++, t[u][b][min(b - y1, b - y2)]--;t[u][b][max(b - y1, b - y2)]++;} else if (c == 1) {if (y1 >= y2) continue;t[u][b][b - y2]++, t[u][b][b - y1]--;} else {if (y1 <= y2) continue;t[u][b][b - y1]++, t[u][b][b - y2]--;}}}for (int i = 1; i <= K; i++)t[u][b][i] += t[u][b][i - 1];}}int ans = 0;while (m--) {int l = _R(), r = _R(), a = _R(), b = _R();l ^= ans, r ^= ans, a ^= ans, b ^= ans;if (l >= r) { printf("%d\n", ans = 0); continue; }ans = 0;if (pos[l] == pos[r]) {for (int i = l + 1; i <= r; i++)ans += (x[i] + a) / b == (x[i - 1] + a) / b;} else {for (int i = l + 1; i <= R[pos[l]]; i++)ans += (x[i] + a) / b == (x[i - 1] + a) / b;for (int i = L[pos[r]] + 1; i <= r; i++)ans += (x[i] + a) / b == (x[i - 1] + a) / b;for (int i = pos[l] + 1; i < pos[r]; i++)ans += t[i][b][a % b];for (int i = pos[l]; i < pos[r]; i++)ans += (x[R[i]] + a) / b == (x[R[i] + 1] + a) / b;}printf("%d\n", ans);}
}
