WX 的神奇思路

WX 是我们的教练，不定时更新。

他曾经强调：“实践出真知，实践长真才。坚持在做题中学习、学习中做题是信息竞赛选手成长成才的必由之路。”处在前所未有的变革时代，干着前无古人的伟大事业，广大的信息竞赛选手需要如饥似渴学习、一刻不停提高，坚持在干中学习、学习中干。

二分求解滑动窗口

怎么求解“长度至少为 \(k\) 的区间的最小值”的最大值？

先二分一个值，然后去遍历整个数组寻找，时间复杂度为 \(O(n\log V)\)。

为啥不直接写滑动窗口呢？因为长度至少是 \(k\) 而不是一定是 \(k\)。

求解两个字符串的子串

“考虑怎么用 SAM 做。”

“为啥不用 SA？”

“其实我们是在为做多个字符串的公共子串做准备。”

调和级数求解 \(\sum d(n)\)

设 \(d(n)=\sum\limits_{i=1}^n [\gcd(i,n)=n]\)，那么怎么求解 \(\sum\limits_{i=1}^n d(i)\) 呢？

考虑枚举其因子，第 \(i\) 个数一定是 \(i,2i,\cdots ,\lfloor \dfrac{n}{i}\rfloor\times i\) 的因数。

一个一个遍历判断，时间复杂度为 \(O(n\log n)\)。

求解完全积性函数

详细讲解了怎么求解积性函数，然后遇到了一个完全积性函数。

这是一个完全积性函数，可以用线性筛求解，举个例子。

（沉默良久

你们自己去在了解一下吧。

关于 \(\varepsilon\)

应 @E_M_T 的要求添加的。

\(\varepsilon(n)=[n=1]\) 是单位函数，\((\varepsilon*f)(n)=f\)，也就是只有 \(n=1\) 时 \(f(n)=0\)。

至少与恰好

设 \(f(i)\) 表示至少 \(k\) 个元素是集合的交集的方案，那么有：

\[f(i)={n\choose k}\times (2^{2^{n-k}}-1) \]

设 \(g(i)\) 表示恰好 \(k\) 个元素是集合交集的方案数，可以得到：

\[f(i)=\sum\limits_{i=k}^n{n\choose k}\times g(i) \]

反演可以得到：

\[g(i)=\sum\limits_{i=k}^n(-1)^{i-k}{i\choose k}f(i)=\sum\limits_{i=k}^n(-1)^{i-k}{i\choose k}{n\choose k}(2^{2^{n-k}}-1) \]

群

WX 的 PPT 没有解释 Burnside 是把具体的方案作为群而 Polya 是把位置作为群，这直接导致学生无法理解 \(16\) 个项的集合是怎么通过 \(4\) 的置换解决的。

官方解释：你先不要管染色，你就是去对于 Burnside 引理的位置去考虑，不动的是下标而不是值。

钓鱼

学生去找他钓鱼，告诉他自己无法理解置换是置换下表还是置换值。

官方解释：显然是下标，因为置换的集合是可以重复的，如果置换值就没有意义了。

学生发现 oi-wiki 上置换的是值，询问他原因。

官方解释：oi-wiki 不一定就是对的，它还不是很多人去编辑出来的。

学生指出他 PPT 上定义的是集合，而众所周知集合是不可重的。

官方解释：我的定义都是去网上找的，如果有问题那就按照你自己的理解。

HNOI2008 Cards

因为洗牌操作构成了一个群，所以只有原置换存在不动点，所以有：

\[Ans=\dfrac{1}{m+1}{r\choose r+g+b}{b\choose b+g}{g\choose g}=\dfrac{(r+g+b)!}{(m+1)r!b!g!} \]

新式乘法

\[(1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!})(1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!})(1+\dfrac{x}{1!})\\ ~\\=1+3\dfrac{x}{1!}+8\dfrac{x^2}{2!}+19\dfrac{x^3}{3!}+38\dfrac{x^4}{4!}+60\dfrac{x^5}{5!}+60\dfrac{x^6}{6!} \]