Acwing252.树
题目分析
树中的路径分为三种
- 路径两端在同一个子树
- 路径两端在不同子树
- 路径有一端是重心
因此可以分情况处理, 对于第一种情况可以进行递归处理, 第二种情况需要使用容斥原理求得(下面重点介绍), 第三种情况枚举重心到其他节点的路径就可以求得
代码分析
求子树大小
int get_size(int _index, int pre) {
// 如果当前子树被删除, 返回0if (visited[_index]) return 0;int res = 1;for (int i = head[_index]; ~i; i = next_edge[i]) {int ver = edge_end[i];if (ver == pre) continue;res += get_size(ver, _index);}return res;
}
求当前点出发的子树的所有路径
void get_dist(int _index, int pre, int dis, int &ptr) {if (visited[_index]) return;arr2[ptr++] = dis;for (int i = head[_index]; ~i; i = next_edge[i]) {int ver = edge_end[i];if (ver == pre) continue;get_dist(ver, _index, dis + w[i], ptr);}
}
求树的重心
int get_weight_center(int _index, int pre, int tot, int &res) {if (visited[_index]) return 0;int sum = 1, max_son = 0;for (int i = head[_index]; ~i; i = next_edge[i]) {int ver = edge_end[i];if (ver == pre) continue;int size = get_weight_center(ver, _index, tot, res);
// 更新最大子树大小max_son = max(max_son, size);sum += size;}// 总数减下面的子树总和, 就是当前点所在父节点的子树大小max_son = max(max_son, tot - sum);
// 如果最大子树大小 <= tot / 2, 那么当前点可以作为重心if (max_son <= tot >> 1) res = _index;return sum;
}
注意:这里树的重心只要子树的大小<= n / 2就可以保证点分治时间复杂度
求单个子树中路径和 <= k的路径组合数量
int get(int arr[], int cnt) {sort(arr, arr + cnt);int res = 0;for (int i = cnt - 1, j = -1; i >= 0; --i) {
// 找到满足条件的最大jwhile (j + 1 < i && arr[j + 1] + arr[i] <= k) j++;j = min(j, i - 1);res += j + 1;}return res;
}
双指针算法求解
核心函数
int calc(int _index) {if (visited[_index]) return 0;int res = 0;// 找到当前子树的重心get_weight_center(_index, -1, get_size(_index, -1), _index);visited[_index] = true;int p1 = 0;for (int i = head[_index]; ~i; i = next_edge[i]) {int ver = edge_end[i], p2 = 0;get_dist(ver, -1, w[i], p2);
// 减去一个子树中的组合情况res -= get(arr2, p2);// 将子树的距离加入到去全局的距离中for (int j = 0; j < p2; ++j) {
// 某个点是重心的情况if (arr2[j] <= k) res++;arr1[p1++] = arr2[j];}}// 加上子树内部的组合情况res += get(arr1, p1);
// 递归处理子树for (int i = head[_index]; ~i; i = next_edge[i]) {int ver = edge_end[i];res += calc(ver);}return res;
}
先找到当前子树的重心, 然后将重心标记
然后将路径分为三种情况, 上面有论述,
直接看最复杂的情况, 也就是两个点分别在两个子树中
- 求得子树中的路径组合, 因为是不合法的, 因此将其从答案中减去
- 然后将子树的路径添加到全局的路径当中
- 在添加过程中不要忘记记录子树到重心也是一种情况
- 最后加入到res的就是全局的除去子树之间的路径组合
最后处理第一种和第三种情况
时间复杂度分析
递归过程中一共$\log{}{n}$层, 每一层点数不超过$n$, 排序时间复杂度$O(n\log_{}{n})$, 因此总的时间复杂度$O(n\log_{}{n}^{2})$
完整代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>using namespace std;const int N = 10010, EDGE_NUMBER = N << 1;int n, k;
int head[N], edge_end[EDGE_NUMBER], next_edge[EDGE_NUMBER], w[EDGE_NUMBER], edge_index;
//节点是否被删除
bool visited[N];
//当前重心的所有子树的距离, 当前子树的距离
int arr1[N], arr2[N];void add(int ver1, int ver2, int val) {edge_end[edge_index] = ver2, next_edge[edge_index] = head[ver1], w[edge_index] = val, head[ver1] = edge_index++;
}//求子树大小
int get_size(int _index, int pre) {
// 如果当前子树被删除, 返回0if (visited[_index]) return 0;int res = 1;for (int i = head[_index]; ~i; i = next_edge[i]) {int ver = edge_end[i];if (ver == pre) continue;res += get_size(ver, _index);}return res;
}//求从当前点出发所有路径的长度
void get_dist(int _index, int pre, int dis, int &ptr) {if (visited[_index]) return;arr2[ptr++] = dis;for (int i = head[_index]; ~i; i = next_edge[i]) {int ver = edge_end[i];if (ver == pre) continue;get_dist(ver, _index, dis + w[i], ptr);}
}//求树的重心, 返回值是当前子树大小
int get_weight_center(int _index, int pre, int tot, int &res) {if (visited[_index]) return 0;int sum = 1, max_son = 0;for (int i = head[_index]; ~i; i = next_edge[i]) {int ver = edge_end[i];if (ver == pre) continue;int size = get_weight_center(ver, _index, tot, res);
// 更新最大子树大小max_son = max(max_son, size);sum += size;}// 总数减下面的子树总和, 就是当前点所在父节点的子树大小max_son = max(max_son, tot - sum);
// 如果最大子树大小 <= tot / 2, 那么当前点可以作为重心if (max_son <= tot >> 1) res = _index;return sum;
}int get(int arr[], int cnt) {sort(arr, arr + cnt);int res = 0;for (int i = cnt - 1, j = -1; i >= 0; --i) {
// 找到满足条件的最大jwhile (j + 1 < i && arr[j + 1] + arr[i] <= k) j++;j = min(j, i - 1);res += j + 1;}return res;
}int calc(int _index) {if (visited[_index]) return 0;int res = 0;// 找到当前子树的重心get_weight_center(_index, -1, get_size(_index, -1), _index);visited[_index] = true;int p1 = 0;for (int i = head[_index]; ~i; i = next_edge[i]) {int ver = edge_end[i], p2 = 0;get_dist(ver, -1, w[i], p2);
// 减去一个子树中的组合情况res -= get(arr2, p2);// 将子树的距离加入到去全局的距离中for (int j = 0; j < p2; ++j) {
// 某个点是重心的情况if (arr2[j] <= k) res++;arr1[p1++] = arr2[j];}}// 加上子树内部的组合情况res += get(arr1, p1);
// 递归处理子树for (int i = head[_index]; ~i; i = next_edge[i]) {int ver = edge_end[i];res += calc(ver);}return res;
}int main() {while (scanf("%d%d", &n, &k), n && k) {memset(visited, false, sizeof visited);memset(head, -1, sizeof head);edge_index = 0;for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {int ver1, ver2, val;scanf("%d%d%d", &ver1, &ver2, &val);add(ver1, ver2, val);add(ver2, ver1, val);}printf("%d\n", calc(0));}return 0;
}
