高等数学

微积分

早该学了

微积分包含微分（求导）和积分，二者为互逆运算。

微分（求导）

导数的定义

式子：

\(F'(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}\)

导数描述了一个函数的变化趋势，是某一点附近的变化率的最佳近似。

一个转化：\(F'(x_0)\)即函数\(F(x)\)在\(x_0\)处的切线的斜率。

导数的求法

显然可以通过定义式推导。这里给出常见函数的导数。

1. \((C)'=0 \text{ （C为任意常数）}\)

2. \((x^a)'=ax^{a-1}\)

3. \((e^x)'=e^x\)

4. \((\log_ax)'=\frac{1}{x\ln a}\)，特别地，\((\ln x)'=\frac{1}{x}\)

5. \((\sin x)'=\cos x\)

6. \((\cos x)'=-\sin x\)

7. \((\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}\)

8. \((\frac{u}{v})'=\frac{vu'-uv'}{v^2}\)，即分母平方，分子简记为下乘上导减上乘下导。

9. \((a^x)'=a^x\ln a\)

\(3\)式其实就是\(e\)的定义式。

求导的运算法则

1. \((u+v)'=u'+v'\)

2. \((au)'=au'\)

3. \((uv)'=uv'+vu'\)，简记为左乘右导加右乘左导。

4. \((F(G(x)))'=G'(x)F'(G(x))\)（链式法则）

证一下常见函数的导数\(9\)式：

\((a^x)'=(e^{x\ln a})'=e^{x\ln a} \ln a \text{（链式法则）}=a^x \ln a\)

高阶导数

就是导数的导数，变化率的变化率。\(F(x)\)的\(n\)阶导数用\(F^{(n)}(x)\)表示。

特别地，对于幂函数（多项式中的一项），不断求导的过程中也在不断降幂。其系数会产生连乘\(\prod\)。

例子：

\[\begin{aligned} F(x)&=ax^m\\ F^{(n)}(x)&=am^{\underline n}x^{m-n} \end{aligned} \]

积分

积分的定义

积分理解成面积就行。

积分分为不定积分和定积分，不定积分是一个函数，定积分是一个数值。

求不定积分与求导为互逆运算。

积分的求法

由于求不定积分与求导为互逆运算，我们可以通过已知的导数反推原函数。

• \(\int{0\mathrm{d}x}=C\)

• \(\int{x^a\mathrm{d}x}=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C\)

• \(\int{e^x\mathrm{d}x}=e^x+C\)

• \(\int{x^{-1}\mathrm{d}x}=\ln x+C\)

定积分的运算法则

1. \(\int_a^b{kF(x)\mathrm{d}x}=k\int_a^b{F(x)\mathrm{d}x}\)

2. \(\int_a^b{[F(x)\pm G(x)]\mathrm{d}x}=\int_a^b{F(x)\mathrm{d}x}\pm\int_a^b{G(x)\mathrm{d}x}\)

3. \(\int_a^b{F(x)\mathrm{d}x}=\int_a^c{F(x)\mathrm{d}x}+\int_c^b{F(x)\mathrm{d}x}\)

泰勒展开

简单来说就是用一个多项式\(F(x)\)拟合一个函数\(G(x)\)。

从\(x=0\)入手，可以得到以下式子：

\[\begin{aligned} F(0)&=G(0)\\ F'(0)&=G'(0)\\ F''(0)&=G''(0)\\ F^{(n)}(0)&=G^{(n)}(0) \end{aligned} \]

显然\(F^{(n)}(0)\)只与\([x^n]F(x)\)有关。

可以得到以下式子：

\[F(x)=G(x)=\sum\limits_{n\ge 0}\frac{F^{(n)}(0)}{n!}x^n \]

这是麦克劳林展开。

将\(x=0\)换成\(x=x_0\)，就可以得到泰勒展开的式子：

\[F(x)=G(x)=\sum\limits_{n\ge 0}\frac{F^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \]

（所以麦克劳林展开其实是在\(x=0\)处的泰勒展开）

分别将\(F(x)=\sin x,G(x)=\cos x,H(x)=e^{ix},P(x)=e^{-ix}\)麦克劳林展开，可以得到欧拉公式：

\[\begin{aligned} e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\ e^{-ix}&=\cos x-i\sin x \end{aligned} \]

更进一步地，

\[\begin{aligned} \sin x&=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\\ \cos x&=\frac{e^ix+e^{-ix}}{2} \end{aligned} \]